Kezdőlap


Feladat:	805. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bayer B. , Bogdán G. , Burján K. , Demeter J. , Deutsch Ede , Deutsch I. , Engel D. , Filkorn J. , Hirschfeld Gy. , Holzmann M. , Kerekes T. , Kertész G. , Kőnig D. , Kornis G. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lázár L. , Lukhaub Gy. , Lupsa György , Póka Gy. , Riesz M. , Rosenberg Á. , Russo M. , Scharff J. , Scheuer R. , Schlesinger A. , Schwarz J. , Selényi M. , Singer A. , Smodics K. , Szmodics H. , Tézner E. , Weisz A. , Wohlstein S.
Füzet:	1900/június, 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/március: 805. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} 3 \cdot 5^{2 n + 1} + 2^{3 n + 1} = 15 \cdot 25^{n} + 2 \cdot 8^{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 15 \cdot 25^{n} + (25 - 15 - 8) \cdot 8^{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 15 (25^{n} - 8^{n}) + 8^{n} \cdot (25 - 8) . \end{matrix}

Minthogy két egyenlő kitevőjű hatványmennyiség külömbsége az alapok külömbségével osztható, azért a megadott kifejezés osztható

25 - 8 = 17

-tel.

(Lupsa György, Déva.)

II. Megoldás. A megadott kifejezés így is írható:

\begin{matrix} 3 \cdot 5 \cdot 25^{n} + 8^{n} \cdot 2 = 15 \cdot {(8 + 17)}^{n} + 8^{n} \cdot 2 = \end{matrix}

\begin{matrix} 15 (8^{n} + (\binom{n}{1}) 8^{n - 1} \cdot 17 + (\binom{n}{2}) 8^{n - 2} \cdot 17^{2} + ... + 17^{n}) + 8^{n} \cdot 2 = \end{matrix}

\begin{matrix} 15 \cdot 8^{n} + 15 \cdot 17 \cdot a + 8^{n} \cdot 2 = 8^{n} \cdot (15 + 2) + 15 \cdot 17 \cdot a = \end{matrix}

\begin{matrix} = 8^{n} \cdot 17 + 15 \cdot 17 \cdot a . \end{matrix}

(Deutsch Ede, Győr.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bayer B., Bogdán G., Burján K., Demeter J., Deutsch I., Engel D., Filkorn J., Hirschfeld Gy., Holzmann M., Kerekes T., Kertész G., Kornis F., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Lázár L., Lukhaub Gy., Póka Gy., Riesz M., Rosenberg Á., Russo M., Scharff J., Scheuer R., Schlesinger A., Schwarz J., Selényi M., Singer A., Smodics K., Szmodics H., Tézner E., Weisz A., Wohlstein S.