Feladat: 805. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Aczél F. ,  Bayer B. ,  Bogdán G. ,  Burján K. ,  Demeter J. ,  Deutsch Ede ,  Deutsch I. ,  Engel D. ,  Filkorn J. ,  Hirschfeld Gy. ,  Holzmann M. ,  Kerekes T. ,  Kertész G. ,  Kőnig D. ,  Kornis G. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Lázár L. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa György ,  Póka Gy. ,  Riesz M. ,  Rosenberg Á. ,  Russo M. ,  Scharff J. ,  Scheuer R. ,  Schlesinger A. ,  Schwarz J. ,  Selényi M. ,  Singer A. ,  Smodics K. ,  Szmodics H. ,  Tézner E. ,  Weisz A. ,  Wohlstein S. 
Füzet: 1900/június, 176. oldal  PDF file
Témakör(ök): Binomiális együtthatók, Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/március: 805. matematika feladat

Mutassuk meg, hogy
352n+1+23n+1
osztható 17-tel, ha n tetszésszerinti egész szám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

352n+1+23n+1=1525n+28n=
=1525n+(25-15-8)8n=
=15(25n-8n)+8n(25-8).
Minthogy két egyenlő kitevőjű hatványmennyiség külömbsége az alapok külömbségével osztható, azért a megadott kifejezés osztható 25-8=17-tel.
 
(Lupsa György, Déva.)

 
II. Megoldás. A megadott kifejezés így is írható:
3525n+8n2=15(8+17)n+8n2=
15(8n+(n1)8n-117+(n2)8n-2172+...+17n)+8n2=
158n+1517a+8n2=8n(15+2)+1517a=
=8n17+1517a.

 
(Deutsch Ede, Győr.)

 
A feladatot még megoldották: Aczél F., Bayer B., Bogdán G., Burján K., Demeter J., Deutsch I., Engel D., Filkorn J., Hirschfeld Gy., Holzmann M., Kerekes T., Kertész G., Kornis F., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Lázár L., Lukhaub Gy., Póka Gy., Riesz M., Rosenberg Á., Russo M., Scharff J., Scheuer R., Schlesinger A., Schwarz J., Selényi M., Singer A., Smodics K., Szmodics H., Tézner E., Weisz A., Wohlstein S.