Feladat: 791. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Czank K. ,  Demeter J. ,  Filkorn J. ,  Hirschfeld Gy. ,  Kerekes T. ,  Kertész G. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Kürth A. ,  König D. ,  Lázár L. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa György ,  Póka Gy. ,  Scharff J. 
Füzet: 1900/november, 77 - 78. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Magasságvonal, Simson-egyenes, Körülírt kör, Terület, felszín, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/január: 791. matematika feladat

Az ABC háromszög AA1,BB1 és CC1 magasságainak a háromszög köré írható kör kerületével való második metszéspontjai A2,B2 és C2. Mutassuk meg, hogy az ezen pontokhoz tartozó Simson-féle egyenesek oly DEF háromszöget határoznak meg, mely hasonló az A1B1C1 talpponti háromszöghöz s melynek területe az utóbbi háromszög területének négyszerese.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az A2 pontból a háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjai: P,A1 és Q, akkor

A2PCC1ésA2QBB1
s így
AC1:AP=AM:AA2=AB1:AQ
minélfogva
C1B1EF.
 

 

Hasonlóképpen kinutathatjuk, hogy
A1C1FDésA1B1DE(1)
s így csakugyan
A1B1C1DEF(2)
(l)-ből továbbá következik, hogy C1EA1B1 és C1A1B1D parallelogrammák, tehát
A1B1=EC1=DC1=ED2,
miből láthatjuk, hogy az A1B1C1 háromszög területe negyedrésze DEF háromszög területének.
 

(Lupsa György, Déva.)
 

A feladatot még megoldották: Bayer B., Czank K., Demeter J., Filkorn J., Hirschfeld Gy., Kerekes T., Kertész G., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lázár L., Lukhaub Gy., Póka Gy., Scharff J.