Kezdőlap


Feladat:	790. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bayer B. , Czank K. , Demeter J. , Filkorn J. , Grosz K. , Grün S. , Kerekes T. , Krisztián Gy. , Kürth A. , König D. , Lázár L. , Póka Gy. , Smodics K. , Weisz A.
Füzet:	1900/november, 76 - 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/január: 790. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt oly $A B C$ háromszöget szerkesztünk, melynek szögei egyenlők a megadott szögekkel. Ezután oly négyzetet szerkesztünk, melynek területe egyenlő az $A B C$ háromszög területével. E végből meghosszabbítjuk $A B$ -t s $B F$ -et egyenlővé tesszük a $C C_{1} = m$ magasság felével. Ezután $A F$ fölé félkört rajzolunk, melyet az $A B$ -re $B$ -ben emelt merőleges $G$ pontban metsz. $B G = p$ a keresett négyzet egyik oldala, mert

\begin{matrix} p^{2} = A B \times B F = A B \times \frac{m}{2} . \end{matrix}

Most

B G

-re rámérjük

q

-t s az így nyert

H

pontból

A B

-vel párhuzamost rajzolunk, mely

A G

-t

K

-ban metszi. A

K

pontból

A B

-re bocsátott merőleges

D

talppontjából

B C

-vel párhuzamost rajzolunk.

A D E

a keresett háromszög.

Bizonyítás.

A B C ▵ \sim A D E ▵

A B G ▵ \sim A D K ▵

, így tehát

\begin{matrix} \frac{A B C}{A D E} = \frac{\bar{A B^{2}}}{\bar{A D^{2}}} = \frac{B G^{2}}{\bar{D K^{2}}} = \frac{p^{2}}{q^{2}} . \end{matrix}

De az

A B C

háromszög területe

= p^{2}

, miért is az

A D E

háromszög területe

= q^{2}

A feladatot megoldották: Bayer B., Czank K., Demeter J., Filkorn J., Grosz K., Grün S., Kerekes T., König D., Krisztián Gy., Kürth A., Lázár L., Póka Gy., Smodics K., Weisz A.