Feladat: 790. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Czank K. ,  Demeter J. ,  Filkorn J. ,  Grosz K. ,  Grün S. ,  Kerekes T. ,  Krisztián Gy. ,  Kürth A. ,  König D. ,  Lázár L. ,  Póka Gy. ,  Smodics K. ,  Weisz A. 
Füzet: 1900/november, 76 - 77. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/január: 790. matematika feladat

Szerkesszük meg a háromszöget, ha adva van a terület (q2) és a három szög.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt oly ABC háromszöget szerkesztünk, melynek szögei egyenlők a megadott szögekkel. Ezután oly négyzetet szerkesztünk, melynek területe egyenlő az ABC háromszög területével. E végből meghosszabbítjuk AB-t s BF-et egyenlővé tesszük a CC1=m magasság felével. Ezután AF fölé félkört rajzolunk, melyet az AB-re B-ben emelt merőleges G pontban metsz. BG=p a keresett négyzet egyik oldala, mert

p2=AB×BF=AB×m2.
Most BG-re rámérjük q-t s az így nyert H pontból AB-vel párhuzamost rajzolunk, mely AG-t K-ban metszi. A K pontból AB-re bocsátott merőleges D talppontjából BC-vel párhuzamost rajzolunk. ADE a keresett háromszög.
 

 

Bizonyítás. ABCADE, ABGADK, így tehát
ABCADE=AB2¯AD2¯=BG2DK2¯=p2q2.
De az ABC háromszög területe =p2, miért is az ADE háromszög területe =q2.
 

A feladatot megoldották: Bayer B., Czank K., Demeter J., Filkorn J., Grosz K., Grün S., Kerekes T., König D., Krisztián Gy., Kürth A., Lázár L., Póka Gy., Smodics K., Weisz A.