Kezdőlap


Feladat:	787. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Burján K. , Czank K. , Feldmár V. , Filkorn Jenő , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Kürth A. , König D. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Póka Gy. , Rosenberg Á. , Scharff J. , Schmidl I. , Smodics K. , Szmodics H. , Weisz P.
Füzet:	1900/szeptember, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/január: 787. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a számrendszer alapszáma $a$ , akkor

\begin{matrix} N = a^{2 n - 2} + 2 a^{2 n - 3} + 3 a^{2 n - 4} + ... + n a^{n - 1} + (n - 1) a^{n - 2} + (n - 2) a^{n - 3} + \end{matrix}

\begin{matrix} + ... + 3 a^{2} + 2 a + 1 \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} a \times N = a^{2 n - 1} + 2 a^{2 n - 2} + 3 a^{2 n - 3} + ... + n a^{n} + (n - 1) a^{n - 1} + \end{matrix}

\begin{matrix} + (n - 2) a^{n - 2} + ... + 3 a^{3} + 2 a^{2} + a \end{matrix}

(2)

(1)-et (2)-ből levonva:

\begin{matrix} (a - 1) N = a^{2 n - 1} + a^{2 n - 2} + a^{2 n - 3} + ... + a^{n} - a^{n - 1} - a^{n - 2} - ... - a^{3} - a^{2} - a - 1 = \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{n} \cdot \frac{a^{n} - 1}{a - 1} - \frac{a^{n} - 1}{a - 1} = \frac{{(a^{n} - 1)}^{2}}{a - 1} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} N = {(\frac{(a^{n} - 1)}{a - 1})}^{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} \sqrt[]{N} = a^{n - 1} + a^{n - 2} + a^{n - 3} + ... + a^{3} + a^{2} + a + 1, \end{matrix}

mely kifejezés csakugyan olyan

n

jegyú szám, melynek minden jegye :

1

(Filkorn Jenő, Nyitra.))

A feladatot még megoldották: Bayer B., Burján K., Czank K., Feldmár V., Kerekes T., König D. , Krausz B, Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Scharff J., Schmidl l., Smodics K., Szmodics H., Weisz P.