Feladat: 787. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Burján K. ,  Czank K. ,  Feldmár V. ,  Filkorn Jenő ,  Kerekes T. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Kürth A. ,  König D. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Póka Gy. ,  Rosenberg Á. ,  Scharff J. ,  Schmidl I. ,  Smodics K. ,  Szmodics H. ,  Weisz P. 
Füzet: 1900/szeptember, 25 - 26. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mértani sorozat, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/január: 787. matematika feladat

Ha egy tetszés szerinti számrendszerben valamely N szám jegyei:
1,2,3,...n,n-1,n-2,...3,2,1
akkor N oly n jegyű szám, melynek minden jegye: 1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a számrendszer alapszáma a, akkor

N=a2n-2+2a2n-3+3a2n-4+...+nan-1+(n-1)an-2+(n-2)an-3+
+...+3a2+2a+1(1)
és
a×N=a2n-1+2a2n-2+3a2n-3+...+nan+(n-1)an-1+
+(n-2)an-2+...+3a3+2a2+a(2)
(1)-et (2)-ből levonva:
(a-1)N=a2n-1+a2n-2+a2n-3+...+an-an-1-an-2-...-a3-a2-a-1=
=anan-1a-1-an-1a-1=(an-1)2a-1
miből
N=((an-1)a-1)2
s így
N=an-1+an-2+an-3+...+a3+a2+a+1,
mely kifejezés csakugyan olyan n jegyú szám, melynek minden jegye : 1.
 

(Filkorn Jenő, Nyitra.))

 
A feladatot még megoldották: Bayer B., Burján K., Czank K., Feldmár V., Kerekes T., König D. , Krausz B, Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Scharff J., Schmidl l., Smodics K., Szmodics H., Weisz P.