Kezdőlap


Feladat:	785. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Burján K. , Czank K. , Demeter J. , Feldnár V. , Filkorn J. , Holzmann M. , Keesz J. , Kerekes T. , Kőnig D. , Krausz Béla , Krisztián Gy. , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Perl Gy. , Póka Gy. , Rosenberg Á. , Scharff J. , Schmidl I. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Tézner E.
Füzet:	1900/június, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/január: 785. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két egyenlet:

\begin{matrix} a_{1} x^{2} + b_{1} x + c = 0, a_{2} x^{2} + b_{2} x^{2} + c_{2} = 0. \end{matrix}

Ha eme egyenletek gyökei

x_{1}, x_{2}, x_{3}

és

x_{4}

, akkor azok a következő mértani haladványt alkotják:

\begin{matrix} x_{1}, x_{1} \cdot \frac{x_{2}}{x_{1}}, x_{1} \cdot \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}, x_{1} \cdot \frac{x_{2}^{3}}{x_{1}^{3}} . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} x_{3} x_{4} = \frac{c_{2}}{a_{2}} = x_{1}^{2} \cdot \frac{x_{2}^{5}}{x_{1}^{5}} = x_{1} x_{2} \cdot {(\frac{x_{2}}{x_{1}})}^{4}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} {(\frac{x_{2}}{x_{1}})}^{4} = \frac{a_{1} c_{2}}{a_{2} c_{1}} \end{matrix}

(1)

Minthogy továbbá

\begin{matrix} x_{3} + x_{4} = - \frac{b_{2}}{a_{2}} = \frac{x_{1} x_{2}^{2} + x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}} = \frac{x_{2}^{2} (x_{1} + x_{2})}{x_{1}^{2}}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} {(\frac{x_{2}}{x_{1}})}^{2} = \frac{a_{1} b_{2}}{a_{2} b_{1}} \end{matrix}

(2)

(2)-t (1)-be téve

\begin{matrix} {(\frac{x_{2}}{x_{1}})}^{4} = \frac{a_{1}^{2} b_{2}^{2}}{a_{2}^{2} b_{1}^{2}} = \frac{a_{1} c_{2}}{a_{2} c_{1}}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} {(\frac{b_{1}}{b_{2}})}^{2} = \frac{c_{1}}{c_{2}} \cdot \frac{a_{1}}{a_{2}} . \end{matrix}

(Krausz Béla, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Burján K., Czank K., Demeter J., Feldnár V., Filkorn J., Holzmann M., Keesz J., Kerekes T., König D., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Perl Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Scharff J., Schmidl I., Sümegi Gy., Szmodics H., Tézner E.