Feladat: 785. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Burján K. ,  Czank K. ,  Demeter J. ,  Feldnár V. ,  Filkorn J. ,  Holzmann M. ,  Keesz J. ,  Kerekes T. ,  Kőnig D. ,  Krausz Béla ,  Krisztián Gy. ,  Kürth A. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Perl Gy. ,  Póka Gy. ,  Rosenberg Á. ,  Scharff J. ,  Schmidl I. ,  Sümegi Gy. ,  Szmodics H. ,  Tézner E. 
Füzet: 1900/június, 174 - 175. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/január: 785. matematika feladat

Minő összefüggésnek kell két másodfokú egyenlet együtthatói között fennállnia, hogy az egyenletek gyökei mértani haladványt alkossanak?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két egyenlet:

a1x2+b1x+c=0,a2x2+b2x2+c2=0.
Ha eme egyenletek gyökei x1,x2,x3 és x4, akkor azok a következő mértani haladványt alkotják:
x1,x1x2x1,x1x22x12,x1x23x13.
Minthogy
x3x4=c2a2=x12x25x15=x1x2(x2x1)4,

azért
(x2x1)4=a1c2a2c1(1)
Minthogy továbbá
x3+x4=-b2a2=x1x22+x23x12=x22(x1+x2)x12,
azért
(x2x1)2=a1b2a2b1(2)
(2)-t (1)-be téve
(x2x1)4=a12b22a22b12=a1c2a2c1,
miből
(b1b2)2=c1c2a1a2.

 
(Krausz Béla, Pécs.)

 
A feladatot még megoldották: Bayer B., Burján K., Czank K., Demeter J., Feldnár V., Filkorn J., Holzmann M., Keesz J., Kerekes T., König D., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Perl Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Scharff J., Schmidl I., Sümegi Gy., Szmodics H., Tézner E.