Kezdőlap


Feladat:	784. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Bayer B. , Bogdán G. , Burján K. , Czank K. , Demeter J. , Demjén E. , Faith F. , Feldnár V. , Filkorn J. , Grosz K. , Grün S. , Gusztáv B. , Hein I. , Hirschfeld Gy. , Holzmann M. , Keesz J. , Kende B. , Kerekes T. , Kőnig D. , Krausz B. , Krausz O. , Krisztián Gy. , Kürth A. , Lázár L. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Pilczer P. , Póka Gyula , Rosenberg Á. , Russo M. , Scharff J. , Scheuer R. , Schlesinger A. , Schmidl I. , Schwarz J. , Smodics K. , Stalzer L. , Szmodics H. , Tézner E. , Ulmer T. , Weisz A. , Wohlstein S.
Füzet:	1900/június, 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/január: 784. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a > b$ .
$1^{\circ}$ . Minthogy

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} > 0, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} a^{2} - 2 a b + b^{2} + 4 a b > 4 a b \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} > 4 a b \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} > \sqrt[]{a b} . \end{matrix}

(1)

2^{\circ}

. (1)-nek mindkét oldalából

b

-t kivonva:

\begin{matrix} \frac{a - b}{2} > \sqrt[]{a b} - b \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a - b}{2} > \sqrt[]{b} (\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b}) \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{{(a - b)}^{2}}{4} > b (a + b - 2 \sqrt[]{a b}), \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{{(a - b)}^{2}}{8 b} > \frac{a + b}{2} - \sqrt[]{a b} . \end{matrix}

(Póka Gyula, Losoncz.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Bayer B., Bogdán G., Burján K., Czank K., Demeter J., Demjén E., Faith F., Feldnár V., Filkorn J., Grosz K., Grün S., Gusztáv B., Hein I., Hirschfeld Gy., Holzmann M., Keesz J., Kende B., Kerekes T., König D., Krausz B., Krausz O., Krisztián Gy., Kürth A., Lázár L., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Pilczer P., Rosenberg Á., Russo M., Scharff J., Scheuer R., Schlesinger A., Schmidl I., Schwarz J., Smodics K., Stalzer L., Szmodics H., Tézner E., Ulmer T., Weisz A., Wohlstein S.