Feladat: 784. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartók I. ,  Bayer B. ,  Bogdán G. ,  Burján K. ,  Czank K. ,  Demeter J. ,  Demjén E. ,  Faith F. ,  Feldnár V. ,  Filkorn J. ,  Grosz K. ,  Grün S. ,  Gusztáv B. ,  Hein I. ,  Hirschfeld Gy. ,  Holzmann M. ,  Keesz J. ,  Kende B. ,  Kerekes T. ,  Kőnig D. ,  Krausz B. ,  Krausz O. ,  Krisztián Gy. ,  Kürth A. ,  Lázár L. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Pilczer P. ,  Póka Gyula ,  Rosenberg Á. ,  Russo M. ,  Scharff J. ,  Scheuer R. ,  Schlesinger A. ,  Schmidl I. ,  Schwarz J. ,  Smodics K. ,  Stalzer L. ,  Szmodics H. ,  Tézner E. ,  Ulmer T. ,  Weisz A. ,  Wohlstein S. 
Füzet: 1900/június, 174. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/január: 784. matematika feladat

Mutassuk meg, hogy
1. két szám számtani középarányosa nagyobb a két szám mértani középarányosánál és hogy
2. a számtani és mértani középarányos külömbsége kisebb, mint a két szám külömbségének négyzete osztva a kisebbik szám 8-szorosával.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a>b.
1. Minthogy

(a-b)2>0,
azért
a2-2ab+b2+4ab>4ab
vagy
(a+b)2>4ab
miből
a+b2>ab.(1)

2. (1)-nek mindkét oldalából b-t kivonva:
a-b2>ab-b
a-b2>b(a-b)
(a-b)24>b(a+b-2ab),
vagy
(a-b)28b>a+b2-ab.

 
(Póka Gyula, Losoncz.)

 
A feladatot még megoldották: Bartók I., Bayer B., Bogdán G., Burján K., Czank K., Demeter J., Demjén E., Faith F., Feldnár V., Filkorn J., Grosz K., Grün S., Gusztáv B., Hein I., Hirschfeld Gy., Holzmann M., Keesz J., Kende B., Kerekes T., König D., Krausz B., Krausz O., Krisztián Gy., Kürth A., Lázár L., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Pilczer P., Rosenberg Á., Russo M., Scharff J., Scheuer R., Schlesinger A., Schmidl I., Schwarz J., Smodics K., Stalzer L., Szmodics H., Tézner E., Ulmer T., Weisz A., Wohlstein S.