Kezdőlap


Feladat:	772. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Czank K. , Faith F. , Filkorn J. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián György , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Perl Gy. , Póka Gy. , Sasvári G. , Weisz A. , Wohlstein S.
Füzet:	1900/október, 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/december: 772. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $B P C$ és $B A C$ háromszögeknek közös alapjuk van; ennélfogva területeik úgy aránylanak, mint a megfelelő magasságok. De a magasságok aránya helyettesíthető a $P A_{1}$ és $A A_{1}$ távolságok arányával, miért is:

\begin{matrix} \frac{B P C ▵}{A B C ▵} = \frac{A A_{1} - P A}{A A_{1}} = 1 - \frac{P A}{A A_{1}} \end{matrix}

épp így

\begin{matrix} \frac{A P C ▵}{A B C ▵} = \frac{B B_{1} - P B}{B B_{1}} = 1 - \frac{P B}{B B_{1}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{A P B ▵}{A B C ▵} = \frac{C C_{1} - P C}{C C_{1}} = 1 - \frac{P C}{C C_{1}} . \end{matrix}

E három egyenletet összeadva és tekintetbe véve, hogy

\begin{matrix} B P C ▵ + A P C ▵ + A P B ▵ = A B C ▵ \end{matrix}

ered:

\begin{matrix} \frac{P A}{A A_{1}} + \frac{P B}{B B_{1}} + \frac{P C}{C C_{1}} = 3 - 1 = 2. \end{matrix}

(Krisztián György, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Bayer B. , Czank K., Faith F., Filkorn J., Kerekes T., Krausz B., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Perl Gy., Póka Gy., Sasvári G., Weisz A., Wohlstein S.