Feladat: 772. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Czank K. ,  Faith F. ,  Filkorn J. ,  Kerekes T. ,  Krausz B. ,  Krisztián György ,  Kürth A. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Perl Gy. ,  Póka Gy. ,  Sasvári G. ,  Weisz A. ,  Wohlstein S. 
Füzet: 1900/október, 52. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/december: 772. matematika feladat

Az ABC háromszög síkjában felvett P pontot összekötjük a háromszög csúcsaival. A PA,PB és PC egyenesek a háromszög oldalait A1,B1 és C1 pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy
PAAA1+PBBB1+PCCC1=2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A BPC és BAC háromszögeknek közös alapjuk van; ennélfogva területeik úgy aránylanak, mint a megfelelő magasságok. De a magasságok aránya helyettesíthető a PA1 és AA1 távolságok arányával, miért is:

BPCABC=AA1-PAAA1=1-PAAA1
épp így
APCABC=BB1-PBBB1=1-PBBB1
és
APBABC=CC1-PCCC1=1-PCCC1.
E három egyenletet összeadva és tekintetbe véve, hogy
BPC+APC+APB=ABC
ered:
PAAA1+PBBB1+PCCC1=3-1=2.

 
(Krisztián György, Pécs.)
 
A feladatot még megoldották: Bayer B. , Czank K., Faith F., Filkorn J., Kerekes T., Krausz B., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Perl Gy., Póka Gy., Sasvári G., Weisz A., Wohlstein S.