Kezdőlap


Feladat:	769. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Filkorn J. , Hein I. , Holzmann M. , Keesz J. , Kerekes T. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Póka Gy. , Rosenberg Á. , Scharff Jenő
Füzet:	1900/április, 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/december: 769. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ Annak valószínősége, hogy az urna egyik részébe nyúlunk és onnan vörös golyót húzunk. $\frac{v_{1}}{2 (v_{1} + f_{1})}$ ; hasonlóképpen annak valószínűsége, hogy a másik rekeszbe nyúlunk s onnan vörös golyót húzunk: $\frac{v_{2}}{2 (v_{2} + f_{2})}$ . Így tehát az összes valószínűség az első esetben:

\begin{matrix} V_{1} = \frac{v_{1}}{2 (v_{1} + f_{1})} + \frac{v_{2}}{2 (v_{2} + f_{2})} = \frac{v_{1} (v_{2} + f_{2}) + v_{2} (v_{1} + f_{1})}{2 (v_{1} + f_{1}) (v_{2} + f_{2})} . \end{matrix}

2^{\circ}

Ha az urnában nincsen válaszfal, akkor a kedvező esetek száma

v_{1} + v_{2}

, az összes esetek száma

v_{1} + v_{2} + f_{1} + f_{2}

, tehát a valószínűség:

\begin{matrix} V_{2} = \frac{v_{1} + v_{2}}{(v_{1} + f_{1}) + (v_{2} + f_{2})} . \end{matrix}

3^{\circ}

v_{1}

-ből

v_{2}

t levonjuk, akkor:

\begin{matrix} V_{1} - V_{2} = \frac{[(v_{1} + f_{1}) - (v_{2} + f_{2})] [v_{1} f_{2} - v_{2} f_{1}]}{2 (v_{1} + f_{1}) (v_{2} + f_{2}) [(v_{1} + f_{1}) + (v_{2} + f_{2})]} . \end{matrix}

A két valószínőség egyenlő, ha a tört számlálója

0

; ez pedig akkor következik be, ha először:

\begin{matrix} v_{1} + f_{1} = v_{2} + f_{2}, \end{matrix}

tehát ha a két rekeszben a golyók száma egyenlő; vagy ha másodszor

\begin{matrix} v_{1} f_{1} = v_{2} f_{1} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} v_{1} : f_{1} = v_{2} : f_{2}, \end{matrix}

tehát a két rekeszben a vörös és fehér golyók számainak arányai egyenlők.

(Scharff Jenő, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Filkorn J., Hein I., Holzmann M., Keesz J., Kerekes T., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Póka Gy., Rosenberg Á.