Feladat: 769. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Filkorn J. ,  Hein I. ,  Holzmann M. ,  Keesz J. ,  Kerekes T. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Póka Gy. ,  Rosenberg Á. ,  Scharff Jenő 
Füzet: 1900/április, 157. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/december: 769. matematika feladat

Ha egy urna rekesszel két részre van osztva és az egyik részben v1 vörös és f1 fehér golyó, a másik részben v2 vörös és f2 fehér golyó van, mennyi a valószínűsége annak, hogy vaktában vörös golyót húzunk. Mennyi volna a valószínűség, ha nem volna válaszfal az urnában és minő esetben volna a két valószínűség egyenlő?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1 Annak valószínősége, hogy az urna egyik részébe nyúlunk és onnan vörös golyót húzunk. v12(v1+f1); hasonlóképpen annak valószínűsége, hogy a másik rekeszbe nyúlunk s onnan vörös golyót húzunk: v22(v2+f2). Így tehát az összes valószínűség az első esetben:

V1=v12(v1+f1)+v22(v2+f2)=v1(v2+f2)+v2(v1+f1)2(v1+f1)(v2+f2).

 
2 Ha az urnában nincsen válaszfal, akkor a kedvező esetek száma v1+v2, az összes esetek száma v1+v2+f1+f2, tehát a valószínűség:
V2=v1+v2(v1+f1)+(v2+f2).

 
3 Ha v1-ből v2t levonjuk, akkor:
V1-V2=[(v1+f1)-(v2+f2)][v1f2-v2f1]2(v1+f1)(v2+f2)[(v1+f1)+(v2+f2)].
A két valószínőség egyenlő, ha a tört számlálója 0; ez pedig akkor következik be, ha először:
v1+f1=v2+f2,
tehát ha a két rekeszben a golyók száma egyenlő; vagy ha másodszor
v1f1=v2f1
vagy
v1:f1=v2:f2,
tehát a két rekeszben a vörös és fehér golyók számainak arányai egyenlők.
 
(Scharff Jenő, Budapest.)

 
A feladatot még megoldották: Bayer B., Filkorn J., Hein I., Holzmann M., Keesz J., Kerekes T., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Póka Gy., Rosenberg Á.