Kezdőlap


Feladat:	763. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Demeter J. , Faith F. , Filkorn J. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Messik G. , Póka J. , Sasvári Géza , Sasvári J. , Scharff J. , Selényi M. , Singer A.
Füzet:	1900/március, 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Maradékos osztás, Lineáris kongruencia-rendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 763. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a keresett szám $x$ , akkor

\begin{matrix} x = 11 y + 2 = 13 z + 12 = 19 v + 18, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 11 y + 2 = 13 z + 12 \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} 11 y + 2 = 19 v + 18 \end{matrix}

(2)

(1)-ből

\begin{matrix} y = 13 m - 5 \end{matrix}

(2)-ből

\begin{matrix} y = 19 n - 2 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 13 m - 5 = 19 n - 2, \end{matrix}

mely egyenletből

\begin{matrix} m = 19 p + 9 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} y = 13 (19 p + 9) - 5 = 247 p + 112 \end{matrix}

és

\begin{matrix} x = 11 (247 p + 112) + 2 = 2717 p + 1234. \end{matrix}

Ennélfogva a feltétel értelmében

\begin{matrix} 4000 > 2717 p + 1234 > 1000. \end{matrix}

Eme egyenlőtlenség csak úgy elégíthető ki, ha

p

egyenlő

0

, vagy

1

. Ennélfogva a keresett számok:

1234

és

3951

(Sasvári Géza, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Demeter J., Faith F., Filkorn J., Kerekes T., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Póka J., Sasvári J., Scharff J., Selényi M., Singer A.