Kezdőlap


Feladat:	750. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Benedek Zs. , Burján K. , Czank K. , Demeter J. , Faith F. , Filkorn J. , Grosz K. , Hein I. , Holzmann J. M. , Kende B. , Kerekes T. , Kertész G. , Klein S. , Kőnig Dénes , Krausz B. , Krisztián Gy. , Krumpschink K. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Messik G. , Messik V. , Perl Gy. , Póka Gy. , Rosenberg Á. , Russo M. , Sasvári G. , Sasvári J. , Scharff. J. , Scheuer R. , Selényi M. , Singer A. , Smodits K. , Stromfeld F. , Szmodics H. , Tézner E. , Weisz A.
Füzet:	1900/február, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Paraméteres egyenletek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 750. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $x_{1}$ és $x_{2}$ az első egyenletnek két gyöke, azért

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = a + d és x_{1} x_{2} = a d - b c . \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) \end{matrix}

s így az (1) alatti összefüggéseket tekintetbe véve:

\begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} d + 3 a d^{2} + d^{3} - 3 (a d - b c) (a + d) \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{3} + 3 a^{2} d + 3 a d^{2} + d^{3} - 3 a^{2} d - 3 a d^{2} - 3 a d^{2} + 3 a b c + 3 b c d \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{3} + d^{3} + 3 a b c + 3 b c d . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} = {(a d - b c)}^{3} . \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy

x_{1}^{3} + x_{2}^{3}

y

-nak együtthatója ellenkező jellel,

x_{1}^{3} x_{2}^{3}

pedig a második egyenlet tiszta tagja s így

x_{1}^{3}

és

x_{2}^{3}

csakugyan gyökei a második egyenletnek.

(König Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Benedek Zs., Burján K., Czank K., Demeter J., Faith F., Filkorn J., Grosz K., Hein I., Holzmann J.M., Kende B., Kerekes T., Kertész G., Klein S., Krausz B., Krisztián Gy., Krumpschink K., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Russo M., Sasvári G., Sasvári J., Scharff J., Scheuer R., Selényi M., Singer A., Smodits K., Stromfeld F., Szmodics H., Tézner E., Weisz A.