Kezdőlap


Feladat:	734. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baumann J. , Bayer B. , Bogdán G. , Czank K. , Demeter J. , Faith F. , Filkorn J. , Frank A. , Kerekes T. , Kertész G. , Kőnig D. , Kornis F. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Messik G. , Messik V. , Perl Gy. , Póka Gy. , Pollák N. , Rosenberg Á. , Sasvári G. , Sasvári J. , Scheuer R. , Selényi M. , Singer A. , Smodics K. , Stern D. , Weisz Arthur
Füzet:	1899/december, 78. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Oszthatóság, Lineáris kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/október: 734. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0} .$

\begin{matrix} 1000 a = 999 a + a . \end{matrix}

minthogy

999 a

osztható

111

-gyel, azért egyenlő maradékot kapunk, ha

a

-t és ha

1000 a

-t osztjuk

111

-gyel.

2^{0} .

\begin{matrix} A = 10^{6 n + 2} + 10^{3 n + 1} + 1 = 1000^{2 n} \cdot 100 + 1000^{n} \cdot 10 + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} B = 10^{6 n + 4} + 10^{3 n + 2} + 1 = 1000^{2 n + 1} \cdot 10 + 1000^{n} \cdot 100 + 1 \end{matrix}

Tételünk első pontja értelmében az

1000, 1000^{2}, 1000^{3}, ... 1000^{n}, 1000^{2 n}, 1000^{2 n + 1}

számokat

111

-gyel osztva

1

-et kapunk maradékul. Ennélfogva

A

-t, illetőleg

B

-t

111

-gyel osztva, maradékul kapjuk a következőket:

\begin{matrix} 100 + 10 + 1 = 111 \end{matrix}

és

\begin{matrix} 10 + 100 + 1 = 111, \end{matrix}

miből látjuk, hogy mindkét szám osztható

111

-gyel.

3^{0} .

\begin{matrix} C = 10^{6 n} + 10^{3 n} + 1 = 1000^{2 n} + 1000 + 1 \end{matrix}

C

-t

111

-gyel osztva, a fentebbiek értelmében a maradék:

\begin{matrix} 1 + 1 + 1 = 3. \end{matrix}

(Weisz Arthur, Budapest.)

A feladatot megoldották: Baumann J., Bayer B., Bogdán G., Czank K., Demeter J., Faith F., Filkorn J., Frank A., Kerekes T., Kertész G., Kornis F., Kőnig D., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Póka Gy., Pollák N., Rosenberg Á., Sasvári G., Sasvári J., Scheuer R., Selényi M., Singer A., Smodics K., Stern D.