Feladat: 734. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Baumann J. ,  Bayer B. ,  Bogdán G. ,  Czank K. ,  Demeter J. ,  Faith F. ,  Filkorn J. ,  Frank A. ,  Kerekes T. ,  Kertész G. ,  Kőnig D. ,  Kornis F. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Kürth A. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Messik G. ,  Messik V. ,  Perl Gy. ,  Póka Gy. ,  Pollák N. ,  Rosenberg Á. ,  Sasvári G. ,  Sasvári J. ,  Scheuer R. ,  Selényi M. ,  Singer A. ,  Smodics K. ,  Stern D. ,  Weisz Arthur 
Füzet: 1899/december, 78. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Oszthatóság, Lineáris kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/október: 734. matematika feladat

Mutassuk meg, hogy egyenlő maradékokat kapunk, ha a-t és 1000a-t 111-gyel elosztjuk.
Bizonyítsuk be ennek alapján, hogy az
A=106n+2+103n+1+1ésB=106n+4+103n+2+1
számok oszthatók 111-gyel és hogy
C=106n+103n+1
3-mal nagyobb 111-nek valamely többszörösénél; n tetszés szerinti egész szám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

10.

1000a=999a+a.
minthogy 999a osztható 111-gyel, azért egyenlő maradékot kapunk, ha a-t és ha 1000a-t osztjuk 111-gyel.
20.
A=106n+2+103n+1+1=10002n100+1000n10+1
B=106n+4+103n+2+1=10002n+110+1000n100+1
Tételünk első pontja értelmében az 1000,10002,10003,...1000n,10002n,10002n+1 számokat 111-gyel osztva 1-et kapunk maradékul. Ennélfogva A-t, illetőleg B-t 111-gyel osztva, maradékul kapjuk a következőket:
100+10+1=111
és
10+100+1=111,
miből látjuk, hogy mindkét szám osztható 111 -gyel.
30.
C=106n+103n+1=10002n+1000+1
C-t 111-gyel osztva, a fentebbiek értelmében a maradék:
1+1+1=3.

 
(Weisz Arthur, Budapest.)

 
A feladatot megoldották: Baumann J., Bayer B., Bogdán G., Czank K., Demeter J., Faith F., Filkorn J., Frank A., Kerekes T., Kertész G., Kornis F., Kőnig D., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Póka Gy., Pollák N., Rosenberg Á., Sasvári G., Sasvári J., Scheuer R., Selényi M., Singer A., Smodics K., Stern D.