Feladat: 727. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baumann J. ,  Bayer B. ,  Benedek Zs. ,  Burján K. ,  Czank K. ,  Demeter J. ,  Faith F. ,  Fekete N. ,  Filkorn J. ,  Freudenberg K. ,  Grosz K. ,  Hein I. ,  Keesz J. ,  Kende B. ,  Kerekes T. ,  Kőnig D. ,  Krausz B. ,  Krausz F. ,  Krisztián Gy. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Messik G. ,  Mikuleczky I. ,  Perl Gy. ,  Perlesz D. ,  Póka Gy. ,  Rosenberg Á. ,  Russo M. ,  Sasvári G. ,  Sasvári J. ,  Scharff J. ,  Singer A. ,  Smodics K. ,  Spitzer H. ,  Stromfeld Ferencz ,  Tézner E. ,  Winter F. 
Füzet: 1899/november, 51 - 52. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/szeptember: 727. matematika feladat

Oldjuk meg a következő egyenletet: ax=x+13x-a. Határozzuk meg továbbá a-t úgy, hogy 1. az egyik gyök nulla legyen, 2. a gyökök csak előjelre nézve külömbözzenek egymástól, 3. a két gyök egyenlő legyen, 4. az egyik gyök a másiknak négyszerese legyen.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletet rendezve:

x2+(1-3a)x+a2=0,
miből
x=3a-1±5a2-6a+12.

1. Az egyenletnek egyik gyöke 0, ha az absolut tag 0, tehát ha
a=0.
Ekkor x1=0,x2=-1.
2. A gyökök akkor külömböznek egymástól csakis az előjelre nézve, ha x együtthatója 0, tehát ha
1-3a=0,
miből
a=13.

Ekkor x1=i3,x2=-i3.
3. A gyökök egyenlők, ha a discrimináns 0, tehát ha
5a2-6a+1=0,
miből
a1=1,a2=15.
Ekkor x1=x2=-15.
4. Ha az egyik gyök a másiknak négyszerese, akkor
x1+x2=3a-1,x1x2=a2,x2=4x1,
mely egyenletekből
x1=3a-15ésx1=±a2,
honnan
a1=2,a2=211.
Ekkor x1=1,x2=4,x'1=-111,x'2=-411.
 
(Stromfeld Ferencz, Budapest.)

 
A feladatot még megoldották: Baumann J., Bayer B., Benedek Zs., Burján K., Czank K., Demeter J., Faith F., Fekete N., Filkorn J., Freudenberg K., Grosz K., Hein J., Keesz J., Kende B., Kerekes T., Kőnig D., Krausz B., Krausz F., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Mikuleczky I., Perl Gy., Perlesz D., Póka Gy., Reich Zs., Rosenberg Á., Russo M., Sasvári G., Sasvári J., Scharff J., Singer A., Smodics K., Spitzer H., Tézner E., Winter F.