Feladat: 719. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Aczél F. ,  Bayer B. ,  Czank K. ,  Faith F. ,  Fekete N. ,  Filkorn J. ,  Frank A. ,  Frank J. ,  Grosz K. ,  Kéler E. ,  Kerekes T. ,  Kertész G. ,  Kőnig D. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Kürth A. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Messik G. ,  Messik V. ,  Novoszát J. ,  Papp F. ,  Perl Gy. ,  Perlesz D. ,  Póka Gy. ,  Sasvári G. ,  Schor J. ,  Smodics K. ,  Spitzer Henrik ,  Stern D. 
Füzet: 1900/január, 103 - 104. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Szögfelező egyenes, Középponti és kerületi szögek, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/szeptember: 719. matematika feladat

Adott körben rajzoljuk meg a tetszés szerinti CAD kerületi szöget s e szögnek AB szögfelezőjét. A kör kerületének egy tetszés szerinti E pontjából rajzoljuk meg a CA,BA és DA húrokkal párhuzamos GE,FE és HE húrokat. Mutassuk meg, hogy az első kerületi szög szárainak összege (CA+DA) úgy aránylik a második kerületi szög szárainak összegéhez (GE+HE), mint az elsőnek szögfelezője (BA) a másodiknak szögfelezőjéhez (FE).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ptolemäus tétele értelmében:

ABCD=ACBD+ADCB(1)
és
EFGH=GEFH+GFEH(2)
Minthogy pedig egyenlő sugarú körökben egyenlő kerületi szögeknek egyenlő húrok felelnek meg, azért
CD=GH,CB=BD=GF=FH,
eme egyenlőségeket tekintetbe véve és (1)-et (2)-vel elosztva, kapjuk:
ABEF=CA+DAGE+HE.
 

(Spitzer Henrik, Győr.)
 

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bayer B., Czank K., Faith F., Fekete N., Filkorn J., Frank A., Frank J., Grosz K., Kéler E., Kerekes T., Kertész G., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Novoszát J., Papp F., Póka Gy., Perl Gy., Perlesz D., Sasvári G., Schor J., Smodics K., Stern D.