Feladat: 714. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Czank K. ,  Demeter J. ,  Faith F. ,  Fekete N. ,  Filkorn Jenő ,  Frank A. ,  Hoffmann M. ,  Keesz J. ,  Kerekes T. ,  Kőnig D. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Kürth A. ,  Lukhaub Gy. ,  Messik G. ,  Messik V. ,  Mikuleczky I. ,  Papp F. ,  Perl Gy. ,  Perlesz D. ,  Póka Gy. ,  Rosenberg Á. ,  Sasvári G. ,  Sasvári J. ,  Scharff J. ,  Singer A. ,  Spitzer H. ,  Stamberger M. ,  Tézner E. ,  Weisz A. ,  Winter F. 
Füzet: 1899/november, 50 - 51. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/szeptember: 714. matematika feladat

Mutassuk meg, hogy az
x2x2-a2+x2x2-b2=4
egyenletnek gyökei a és b minden értékénél valósak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott egyenletet rendezve, kapjuk:

2x4-3(a2+b2)x2+4a2b2=0,
miből
x=±123(a2+b2)±9(a2+b2)2-32a2b2=±
=±123(a2+b2)±9(a2-b2)2+4a2b2.

Minthogy 9(a2-b2)2+4a2b2 positív szám és négyzetgyöke kisebb mint (a2+b2), azért a gyökük a és b minden értékénél valósak.
 
(Filkorn Jenő, Nyitra.)

 
A feladatot még megoldották: Bayer B., Czank K., Demeter J., Faith F., Fekete N., Frank A., Hoffmann M., Keesz J., Kerekes T., Kőnig D., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Messik G., Messik V., Mikuleczky I., Papp F., Perl Gy., Perlesz D., Póka Gy., Rosenberg Á., Sasvári G., Sasvári J., Scharff J., Singer A., Spitzer H., Stamberger M., Tézner E., Weisz A., Winter F.