Kezdőlap


Feladat:	702. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Benedek Zs. , Faith F. , Filkorn J. , Frank A. , Freibauer E. , Kőnig Dénes , Krausz B. , Krisztián György , Kürth A. , Lukaub Gy. , Lupsa Gy. , Messik G. , Messik V. , Oltay K. , Póka Gy. , Sasvári G. , Singer A. , Szabó J.
Füzet:	1899/október, 35 - 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/június: 702. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

1^{\circ}

\begin{matrix} 7^{n} + 1 = {(6 + 1)}^{n} + 1 = 6^{n} + (\binom{n}{1}) 6^{n - 1} + ... + (\binom{n}{n - 1}) 6 + 2. \end{matrix}

Minthogy az utolsó tag kivételével minden tag osztható

3

-mal, azért

7^{n} + 1

nem osztható

3

-mal s így

48

-czal sem.

2^{\circ}

\begin{matrix} 7^{n} - 1 = {(8 - 1)}^{n} - 1 = 8^{n} - (\binom{n}{1}) 8^{n - 1} + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n}{n - 1}) 8 {(- 1)}^{n - 1} + [{(- 1)}^{n} - 1] . \end{matrix}

Minthogy

8

tényezője

48

-nak, azért szükséges, hogy ezen kifejezés osztható legyen

8

-czal, a mi csak úgy lehetséges, ha

\begin{matrix} {(- 1)}^{n} - 1 = 0 \end{matrix}

vagyis, ha

n

páros szám. Ezen esetben pedig a fenti kifejezés minden tagja osztható

16

-tal. Ha pedig

(7^{n} - 1)

-et ily alakban írjuk:

\begin{matrix} {(6 + 1)}^{n} - 1 = 6^{n} + (\binom{n}{1}) 6^{n - 1} + ... + (\binom{n}{n - 1}) 6, \end{matrix}

akkor láthatjuk, hogy ezen kifejezés osztható

3

-mal s így

7^{n} - 1 n

páros értékei mellett osztható

3 \cdot 16 = 48

-czal.

(Krisztián György, Pécs.)

II. Megoldás.

1^{\circ}

. Adjunk a megadott kifejezéshez

48

-at, akkor

7^{n} + 1 + 48 = 7^{n} + 7^{2}

;

7^{n} + 1 n

-nek ugyanazon értékei mellett osztható

48

-czal, mint

7^{n} + 7^{2}

. Így tehát a megadott kifejezés helyett ez utóbbit vizsgálhatjuk meg. Minthogy pedig

48

-nak s

49

-nek közös tényezője nincs, azért

7^{n} + 7^{2} n

-nek ugyanazon értékei mellett osztható

48

-czal, mint

(7^{n} + 7^{2}) : 49 = 7^{n - 2} + 1

. Eme eljárást folytatva, látjuk, hogy a megadott kifejezés helyett ‐ ha

n

páros szám ‐ rendre a következőket vizsgálhatjuk meg:

7^{n - 2} + 1, 7^{n - 4} + 1, 7^{n - 6} + 1 ... 7^{2} + 1

; ha pedig

n

páratlan, akkor

7^{1} + 1

kifejezésre jutunk. Minthogy azonban

7^{2} + 1 = 50

és

7^{1} + 1 = 8

nem oszthatók

48

-czal, azért

7^{n} + 1

sem osztható

48

-czal.

2^{\circ}

. Hasonlóképpen

7^{n} - 1

helyett, ha

n

páros szám

7^{n - 2} - 1, 7^{n - 4} - 1, ..., 7^{2} - 1

osztható

48

-czal, ha

n

páros szám; ellenben nem osztható

48

-czal, ha

n

páratlan szám, mert

7^{1} - 1 = 8

nem osztható

48

-czal.

(Kőnig Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Benedek Zs., Faith F., Filkorn J., Frank A., Freibauer E., Krausz B., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Oltay K., Póka Gy., Sasvári G., Singer A., Szabó J.