Feladat: 702. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Benedek Zs. ,  Faith F. ,  Filkorn J. ,  Frank A. ,  Freibauer E. ,  Kőnig Dénes ,  Krausz B. ,  Krisztián György ,  Kürth A. ,  Lukaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Messik G. ,  Messik V. ,  Oltay K. ,  Póka Gy. ,  Sasvári G. ,  Singer A. ,  Szabó J. 
Füzet: 1899/október, 35 - 36. oldal  PDF file
Témakör(ök): Binomiális együtthatók, Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/június: 702. matematika feladat

Vannak-e, s ha vannak, melyek n-nek ama positív egész számú értékei, melyekre nézve az
(1)7n+1és(2)7n-1
kifejezések oszthatók 48-czal.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

 

1.
7n+1=(6+1)n+1=6n+(n1)6n-1+...+(nn-1)6+2.
Minthogy az utolsó tag kivételével minden tag osztható 3-mal, azért 7n+1 nem osztható 3-mal s így 48-czal sem.
2.
7n-1=(8-1)n-1=8n-(n1)8n-1+...+
+(nn-1)8(-1)n-1+[(-1)n-1].
Minthogy 8 tényezője 48-nak, azért szükséges, hogy ezen kifejezés osztható legyen 8-czal, a mi csak úgy lehetséges, ha
(-1)n-1=0
vagyis, ha n páros szám. Ezen esetben pedig a fenti kifejezés minden tagja osztható 16-tal. Ha pedig(7n-1)-et ily alakban írjuk:
(6+1)n-1=6n+(n1)6n-1+...+(nn-1)6,
akkor láthatjuk, hogy ezen kifejezés osztható 3-mal s így 7n-1n páros értékei mellett osztható 316=48-czal.
 
(Krisztián György, Pécs.)
 
II. Megoldás.
 
1. Adjunk a megadott kifejezéshez 48-at, akkor 7n+1+48=7n+72; 7n+1n-nek ugyanazon értékei mellett osztható 48-czal, mint 7n+72. Így tehát a megadott kifejezés helyett ez utóbbit vizsgálhatjuk meg. Minthogy pedig 48-nak s 49-nek közös tényezője nincs, azért 7n+72n-nek ugyanazon értékei mellett osztható 48-czal, mint (7n+72):49=7n-2+1. Eme eljárást folytatva, látjuk, hogy a megadott kifejezés helyett ‐ ha n páros szám ‐ rendre a következőket vizsgálhatjuk meg: 7n-2+1,7n-4+1,7n-6+1...72+1; ha pedig n páratlan, akkor 71+1 kifejezésre jutunk. Minthogy azonban 72+1=50 és 71+1=8 nem oszthatók 48-czal, azért 7n+1 sem osztható 48-czal.
2. Hasonlóképpen 7n-1 helyett, ha n páros szám 7n-2-1,7n-4-1,...,72-1 osztható 48-czal, ha n páros szám; ellenben nem osztható 48-czal, ha n páratlan szám, mert 71-1=8 nem osztható 48-czal.
 
(Kőnig Dénes, Budapest.)

 
A feladatot még megoldották: Bayer B., Benedek Zs., Faith F., Filkorn J., Frank A., Freibauer E., Krausz B., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Oltay K., Póka Gy., Sasvári G., Singer A., Szabó J.