Kezdőlap


Feladat:	698. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Bertrám J. , Faith F. , Filkorn J. , Freibauer E. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Messik G. , Messik V. , Oltay K. , Perl Gy. , Póka Gy. , Sasvári Géza , Sasvári J. , Scharff J.
Füzet:	1899/november, 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szimmetrikus egyenletek, Nevezetes azonosságok, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/június: 698. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} x + \frac{1}{x} = u \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = u^{3} - 3 u \end{matrix}

Egyenleteink tehát így alakulnak:

\begin{matrix} u + v = a \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} u^{3} + v^{3} = b + 3 a . \end{matrix}

(4)

Ha (3)-nak köbéből kivonjuk (4)-et, úgy

\begin{matrix} 3 u^{2} v + 3 u v^{2} = a^{3} - b - 3 a, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} u v = \frac{a^{3} - 3 a - b}{3 a} . \end{matrix}

(5)

Ismerjük tehát

(u + v)

-t és

u v

-t. Így tehát

u

és

v

gyökei a következő egyenletnek:

\begin{matrix} 3 a z^{2} - 3 a^{2} z + a^{3} - 3 a - b = 0. \end{matrix}

Ha eme egyenletnek gyökei

z_{1} = u

és

z_{2} = v

, akkor

\begin{matrix} x + \frac{1}{x} = z_{1} és y + \frac{1}{y} = z_{2}, \end{matrix}

mely egyenletekből

x

és

y

értékei meghatározhatók.

(Sasvári Géza, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Bertrám J., Faith F., Filkorn J., Freibauer E., Kerekes T., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Oltay K., Perl Gy., Póka Gy., Sasvári J., Scharff J.