Feladat: 698. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bayer B. ,  Bertrám J. ,  Faith F. ,  Filkorn J. ,  Freibauer E. ,  Kerekes T. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Kürth A. ,  Lukhaub Gy. ,  Messik G. ,  Messik V. ,  Oltay K. ,  Perl Gy. ,  Póka Gy. ,  Sasvári Géza ,  Sasvári J. ,  Scharff J. 
Füzet: 1899/november, 49. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szimmetrikus egyenletek, Nevezetes azonosságok, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/június: 698. matematika feladat

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x+1x+y+1y=a(1)
x3+1x3+y3+1y3=b.(2)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha

x+1x=u  és  y+1y=v,
akkor
x3+1x3=u3-3u  és  y3+1y3=v3-3v.
Egyenleteink tehát így alakulnak:
u+v=a(3)
u3+v3=b+3a.(4)
Ha (3)-nak köbéből kivonjuk (4)-et, úgy
3u2v+3uv2=a3-b-3a,
miből
uv=a3-3a-b3a.(5)
Ismerjük tehát (u+v)-t és uv-t. Így tehát u és v gyökei a következő egyenletnek:
3az2-3a2z+a3-3a-b=0.
Ha eme egyenletnek gyökei z1=u és z2=v, akkor
x+1x=z1ésy+1y=z2,
mely egyenletekből x és y értékei meghatározhatók.
 
(Sasvári Géza, Pécs.)

 
A feladatot még megoldották: Bayer B., Bertrám J., Faith F., Filkorn J., Freibauer E., Kerekes T., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Oltay K., Perl Gy., Póka Gy., Sasvári J., Scharff J.