Feladat: 644. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bender Ernő ,  Boros J. ,  Breuer M. ,  Czank K. ,  Deutsch N. ,  Faith F. ,  Filkorn J. ,  Freibauer E. ,  Glass M. ,  Herzog A. ,  Kerekes T. ,  Kohn B. ,  Kornis Ö. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Lukhaub Gy. ,  Obláth R. ,  Oltay K. ,  Pálfy F. ,  Perl Gy. ,  Pollák L. ,  Pollák N. ,  Porkoláb J. ,  Rippner D. ,  Sasvári G. ,  Weisz J. 
Füzet: 1899/június, 175 - 176. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Másodfokú függvények, Függvényvizsgálat, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/január: 644. matematika feladat

Mutassuk meg, hogy
b2x2+(b2+c2-a2)x+c2
kifejezés x-nek minden értéke mellett pozitív, ha a,b,c egy háromszögnek három oldala.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számítsuk ki e másodfokú függvény legkisebb értékét

ymin=-(b2+c2-a2)2-4b2c24b2

E kifejezés positív, ha a számláló negatív; de a számláló következőképpen alakítható át:
(b2+c2-a2)2-4b2c2=[(b2+c2-a2)+2bc][(b2+c2-a2)-2bc]=
=[(b2+c2)-a2][(b-c)2-a2]=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a).

Minthogy a,b,c egy háromszögnek oldalai, azért a négy tényező közül három positív, az utolsó pedig negatív, mert két oldalösszege nagyobb a harmadiknál. Látjuk tehát, hogy a megadott függvénynek legkisebb értéke positív, tehát minden más értéke is positív.
 
(Bender Ernő, Losoncz.)

 
A feladatot még megoldották: Boros J., Breuer M., Czank K., Deutsch N., Faith F., Filkorn J., Freibauer E., Glass M., Herzog A., Kerekes T., Kohn B., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Obláth R., Oltay K., Pálfy F., Perl Gy., Pollák L., Pollák N., Porkoláb J., Rippner D., Sasvári G., Weisz J.