Kezdőlap


Feladat:	494. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna D. , Bella I. , Brandt D. , Devecis M. , Erdős Aurél , Freibauer E. , Juvancz I. , Kárf J. , Kohn B. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Manheim E. , Obláth R. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Weisz J.
Füzet:	1898/június, 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékosztályok, Maradékos osztás, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/március: 494. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} \frac{P}{k} = q_{1} + \frac{r_{1}}{k} úgy P = q_{1} k + r_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{Q}{k} = q_{2} + \frac{r_{2}}{k} Q = q_{2} k + r_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{R}{k} = q_{3} + \frac{r_{3}}{k} R = q_{3} k + r_{3} \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} \frac{P Q}{k} = \frac{R}{k} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} q_{1} q_{2} k + r_{1} q_{2} + r_{2} q_{1} + \frac{r_{1} r_{2}}{k} = q_{3} + \frac{r_{3}}{k}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} r_{1} r_{2} > k, \end{matrix}

úgy legyen

\begin{matrix} \frac{r_{1} r_{2}}{k} = q_{4} + \frac{r_{4}}{k}, \end{matrix}

mit (1)-be téve

\begin{matrix} q_{1} q_{2} k + r_{1} q_{2} + r_{2} q_{1} + q_{4} + \frac{r_{4}}{k} - \frac{r_{3}}{k} = q_{3}, \end{matrix}

(2)

(2)-ben a jobboldal egész szám; hogy a b aloldal is egész szám legyen, szükséges hogy

\begin{matrix} \frac{r_{4}}{k} = \frac{r_{3}}{k} \end{matrix}

legyen s így

\begin{matrix} r_{4} = r_{3} . \end{matrix}

Alkalmazást e tétel közönséges számok szorzásánál talál, midőn a szorzás helyességéről akarunk meggyőződni.

(Erdős Aurél.)

A feladatot még megoldották: Barna D., Bella I., Brandt D., Devecis M., Freibauer E., Juvancz I., Kárf J., Kohn B., Krausz B., Krisztián Gy., Manheim E., Obláth R., Sasvári G., Spitzer Ö., Weisz J.