Kezdőlap


Feladat:	200. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Hofbauer Ervin , Visnya Aladár
Füzet:	1896/június, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/február: 200. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel értelmében:

\begin{matrix} b \cdot A B_{1} = c^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} A B_{1} : c = c : b \end{matrix}

Minthogy továbbá a

B A B_{1}

és

B A C

háromszögekben a

B A C

szög közös, következik, hogy a

B A B_{1}

és

B A C

háromszögek hasonlók. Ennélfogva:

\begin{matrix} B B_{1} : c = a : b \end{matrix}

miből

\begin{matrix} B B_{1} = a \cdot \frac{c}{b} \end{matrix}

És így kapjuk, hogy

\begin{matrix} B_{1} C_{1} = B B_{1} \cdot \frac{c}{b} = a \cdot {(\frac{c}{b})}^{2} \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy

\begin{matrix} B C + B B_{1} + B_{1} C_{1} + ... in inf . \end{matrix}

oly végtelen mértani haladvávny összege, melynek első tagja

a

, hányadosa

\frac{c}{b}

; s mithogy

b > c

, vagyis

\frac{c}{b} < 1

, a kersett összeg:

\begin{matrix} \frac{a}{1 - \frac{c}{b}} = \frac{a b}{b - c} \end{matrix}

(Friedmann Bernát, főgymn. VII. o. t., S.-A.-Ujhely).

A feladatot még megoldották: Grünhut Béla, Pécs; Hofbauer Ervin, Budapest; Visnya Aladár, Pécs.