Kezdőlap


Feladat:	120. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Meitner Elemér
Füzet:	1895/június, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint mértani hely, Vetítések, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/március: 120. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A húr helyzetét ismerjük, ha ismerjük az $M$ pont koordinátáit. Legyenek ezek $x_{1}$ és $y_{1}$ . A meghatározásukra szolgáló egyenletek

\begin{matrix} b^{2} x_{1}^{2} + a^{2} y_{1}^{2} = a^{2} b^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1}^{2} + {(b - y_{1})}^{2} = h^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} h - (b - y_{1}) = l . \end{matrix}

ha a húrt a kis tengely egyik végpontjából húzzuk.
Az egyenletek még a következő alakra hozhatók

\begin{matrix} b^{2} x_{1}^{2} + a^{2} y_{1}^{2} - a^{2} b^{2} = 0 \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 2 b y_{1} + b^{2} - h^{2} = 0 \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} h - (b - y_{1}) = l \end{matrix}

(3)

Az elsőből

\begin{matrix} x_{1}^{2} = \frac{a^{2} b^{2} - a^{2} y_{1}^{2}}{b^{2}} \end{matrix}

melyet a másodikba helyettesítve, az a következő alakot nyeri

\begin{matrix} (a^{2} - b^{2}) y_{1}^{2} + 2 b^{3} y_{1} - b^{2} (a^{2} + b^{2} - h^{2}) = 0 \end{matrix}

(4)

de a harmadik egyenletből

\begin{matrix} h^{2} = l^{2} + 2 l b + b^{2} - 2 (l + b) y_{1} + y_{1}^{2} \end{matrix}

mely értéknek a

4)

-be való helyettesítése után ez a következő lesz:

\begin{matrix} a^{2} y_{1}^{2} - 2 b^{2} l y_{1} - b^{2} (a^{2} - 2 b l - l^{2}) = 0 \end{matrix}

(5)

Hogy a feladat lehetőségét megállapítsuk, meg kell jegyeznünk, hogy

y_{1}

értékeinek valósaknak és a

+ b

és

- b

közé esőknek kell lenniök.
A valóság feltétele:

\begin{matrix} 4 b^{2} [(b^{2} - a^{2}) l^{2} - 2 a^{2} b l + a^{4}] ≧ 0 \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 1 ≦ \frac{a^{2}}{a + b} \end{matrix}

(6)

Minthogy

b

és

(- b)

-nek helyettesítése az

5)

alatti egyenlet baloldalába eredményül a positív

\begin{matrix} b^{2} l^{2} és 4 b^{3} l + b^{2} l^{2} \end{matrix}

értékeket szolgáltatja, az egyenlet gyökei akkor foglaltatnak

+ b

és

(- b)

között, ha félösszegük ugyanezen intervallumba esik,
vagyis ha

\begin{matrix} - b < \frac{b^{2} l}{a} < b \end{matrix}

azaz, ha

\begin{matrix} - \frac{a^{2}}{b} < l < \frac{a^{2}}{b} \end{matrix}

De a

6)

alatti egyenlőtlenség esetére ez utóbbi is ki van elégítve, vagyis a

6)

fejezi ki a feladat lehetőségének szükséges és elegendő feltételét.

Meitner Elemér, főr. VIII. o. t. Budapest.