Kezdőlap


Feladat:	117. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Goldberger Leó , Grossmann Gusztáv , Imre János , Meitner Elemér , Visnya Aladár
Füzet:	1895/május, 129 - 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/március: 117. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy az első kifejezésnél megállapíthassuk, mikor teljes négyzet az, írjuk azt fel $x$ -nek fogyó hatványai szerint rendezett alakjában.

\begin{matrix} f (x) = (b^{2} + b'^{2}) x^{2} + 2 (a b + a' b') x + a^{2} + a'^{2} \end{matrix}

Azon feltétel, mely az

f (x) = 0

egyenlet gyökeinek egyenlőségét állapítja meg, egyszersmind annak feltétele, hogy

f (x)

teljes négyzet. E feltétel a következő

\begin{matrix} 4 {(a b + a' b')}^{2} - 4 (a^{2} + a'^{2}) ((b^{2} + b'^{2}) = 0, \end{matrix}

vagy átalakítva

\begin{matrix} {(a b' - a' b)}^{2} = 0 \end{matrix}

s végre

\begin{matrix} \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} és \frac{a}{a'} = \frac{c}{c'} \end{matrix}

feltételekből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \end{matrix}

vagyis, hogy

{(b + c x)}^{2} + {(b' + c' x)}^{2}

{(a + b x)}^{2} + {(a' + b' x)}^{2}

és

{(a + c x)}^{2} + {(a' + c' x)}^{2}

-tel egyidejűleg teljes négyzet.

A feladatot megoldották: Goldberger Leó, fr. VI. Pécs; Friedmann Bernát, fg. VI. S.-A.-Ujhely; Grossmann Gusztáv, fg. VIII. Budapest; ifj. Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs.