Feladat: 117. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Friedmann Bernát ,  Goldberger Leó ,  Grossmann Gusztáv ,  Imre János ,  Meitner Elemér ,  Visnya Aladár 
Füzet: 1895/május, 129 - 130. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Másodfokú függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/március: 117. matematika feladat

Mily feltétel mellett lesz az
(a+bx)2+(a'+b'x)2
egy x-ben elsőfokú kifejezés teljes négyzete? - Bizonyítsuk be, hogy, ha
(a+bx)2+(a'+b'x)2és(a+cx)2+(a'+c'x)2
teljes négyzetek, akkor
(b+cx)2+(b'+c'x)2
szintén az.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy az első kifejezésnél megállapíthassuk, mikor teljes négyzet az, írjuk azt fel x-nek fogyó hatványai szerint rendezett alakjában.

f(x)=(b2+b'2)x2+2(ab+a'b')x+a2+a'2
Azon feltétel, mely az f(x)=0 egyenlet gyökeinek egyenlőségét állapítja meg, egyszersmind annak feltétele, hogy f(x) teljes négyzet. E feltétel a következő
4(ab+a'b')2-4(a2+a'2)((b2+b'2)=0,
vagy átalakítva
(ab'-a'b)2=0
s végre
aa'=bb'.
Az
aa'=bb'ésaa'=cc'
feltételekből következik, hogy
bb'=cc'
vagyis, hogy
(b+cx)2+(b'+c'x)2 az (a+bx)2+(a'+b'x)2 és (a+cx)2+(a'+c'x)2-tel egyidejűleg teljes négyzet.
 
A feladatot megoldották: Goldberger Leó, fr. VI. Pécs; Friedmann Bernát, fg. VI. S.-A.-Ujhely; Grossmann Gusztáv, fg. VIII. Budapest; ifj. Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs.