Kezdőlap


Feladat:	91. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berznyik János , Bolemann Béla , Engel Richárd , Grossmann Gusztáv , Heymann Tivadar , Imre János , Jankovich György , Meitner Elemér , Pilczer Ignácz , Schulhof Gábor , Szabó Gusztáv
Füzet:	1894/december, 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Háromszögek nevezetes tételei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/október: 91. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy

\begin{matrix} sin C = sin (A + B) \end{matrix}

azért

\begin{matrix} sin A + sin B + sin C = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} + 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A + B}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 sin \frac{A + B}{2} (cos \frac{A - B}{2} + cos \frac{A + B}{2}) = 2 sin \frac{A + B}{2} \cdot 2 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 4 cos \frac{C}{2} cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} tan A + tan B + tan C = \frac{sin A}{cos A} + \frac{sin B}{cos B} + \frac{sin C}{cos C} = \frac{sin A cos B + cos A sin B}{cos A cos B} + \end{matrix}

\begin{matrix} + \frac{sin C}{cos C} = \frac{sin (A + B)}{cos A cos B} + \frac{sin C}{cos C} = \frac{sin C}{cos A cos B} + \frac{sin C}{cos C} = \frac{sin C (cos C + cos A cos B)}{cos A cos B cos C} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{- sin C (cos (A + B) - cos A cos B)}{cos A cos B cos C} = \frac{sin C sin A sin B}{cos A cos B cos C} \end{matrix}

\begin{matrix} = tan C tan A tan B q.e.d. \end{matrix}

(Pilczer Ignácz főgymn. VIII. o. t. Kaposvár.)

A feladatot még megoldották: Bolemann Béla, Budapest; ifj. Berznyik János, Selmeczbánya; Engel Richárd, Győr; Grossmann Gusztáv, Budapest; Heymann Tivadar, Győr; ifj. Imre János, Nyíregyháza; Jankovich György, Losoncz; Meitner Elemér, Budapest; Schulhof Gábor, Pécs; Szabó Gusztáv, Győr.