Kezdőlap


Feladat:	86. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kis Jenő , Meitner Elemér
Füzet:	1894/december, 50 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/október: 86. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételekből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{s}{v} > \frac{r}{u} \end{matrix}

mert

\begin{matrix} \frac{s}{v} - \frac{r}{u} = \frac{1}{u v} > 0. \end{matrix}

Továbbá, mert

\begin{matrix} \frac{s}{v} = \frac{r}{u} + \frac{1}{u v} \end{matrix}

oly tört alakja, mely

\frac{r}{u}

és

\frac{s}{v}

közé esik, a következő

\begin{matrix} \frac{r}{u} + \frac{\frac{b}{a}}{u v} = \frac{a r v + b}{a u v} \end{matrix}

hol

0 < \frac{b}{a} < 1

.
Hogy

\begin{matrix} \frac{a r v + b}{a u v} = \frac{l r + m s}{l u + m v} \end{matrix}

legyen, arra szükséges és elegendő, miszerint:

\begin{matrix} l r + m s = k (a r v + b) \end{matrix}

\begin{matrix} l u + m v = k (a u v) \end{matrix}

Ezen egyenletekből

\begin{matrix} l = k v (a - b) \end{matrix}

\begin{matrix} m = k u b \end{matrix}

mely értékek akkor pozitívok, ha

\begin{matrix} k > 0 és a > b > 0 \end{matrix}

vagy, ha

\begin{matrix} k < 0 és a < b < 0 \end{matrix}

mely esetekben mindíg fennállnak a

\begin{matrix} 0 < \frac{b}{a} < 1 \end{matrix}

egyenlőtlenségek.
Hogy megfordítva, minden

\frac{l r + m s}{l u + m v}

alakú kifejezés

\frac{r}{u}

és

\frac{s}{v}

közés esik, ha

l

és

m

pozitív, annak bebizonyítására szükséges és elegendő kimutatni, hogy a

\begin{matrix} Δ_{1} = \frac{l r + m s}{l u + m v} - \frac{r}{u} \end{matrix}

és

\begin{matrix} Δ_{2} = \frac{s}{v} - \frac{l r + m s}{l u + m v} \end{matrix}

külömbségek pozitívok.
De

\begin{matrix} Δ_{1} = \frac{m}{u (l u + m v)} \end{matrix}

és

\begin{matrix} Δ_{2} = \frac{l}{v (l u + m v)} \end{matrix}

mely értékek valóban pozitívok, mert

l, m, u

és

v

is mind pozitívok.

(Meitner Elemér, V. ker. főr. VIII.B.o. t., Budapest.)

A feladatot még megoldotta: Kis Jenő, Budapesten.