Kezdőlap


Feladat:	82. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Meitner Elemér
Füzet:	1894/december, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Tetraéderek, Szabályos sokszög alapú gúlák, Térfogat, Szögfüggvények a térben, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/szeptember: 82. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög alapéle

\begin{matrix} b = 2 a sin \frac{α}{2} \end{matrix}

és így az alaplap területe

\begin{matrix} T = a^{2} sin^{2} \frac{α}{2} \sqrt[]{3} \end{matrix}

míg a térfogat

\begin{matrix} V = T \frac{h}{3} \end{matrix}

hol

h

a pyramis magassága.
De

\begin{matrix} h = \sqrt[]{a^{2} - R^{2}} \end{matrix}

hol

R

az alap köré írt háromszög sugara.

\begin{matrix} R = \frac{b}{2 sin 60^{\circ}} = \frac{b}{\sqrt[]{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} R = \frac{2 a sin \frac{α}{2}}{\sqrt[]{3}} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} h = a \sqrt[]{\frac{3 - 4 sin^{2} \frac{α}{2}}{3}} \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} 3 V = a^{3} sin^{2} \frac{α}{2} \sqrt[]{3 - 4 sin^{2} \frac{α}{2}} \end{matrix}

Minthogy

V

-vel

V^{2}

is maximum, keressük ez utóbbinak értékét.

\begin{matrix} 9 V^{2} = a^{6} sin^{4} \frac{α}{2} (3 - 4 sin^{2} \frac{α}{2}) \end{matrix}

vagy az

α'

értéknél

\begin{matrix} 9 V'^{2} = a^{6} sin^{4} \frac{α'}{2} (3 - 4 sin^{2} \frac{α'}{2}) \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{1}{α^{6}} (9 V^{2} - 9 V'^{2}) = 3 (sin^{4} \frac{α}{2} - sin^{4} \frac{α'}{2}) - 4 (sin^{6} \frac{α}{2} - sin^{6} \frac{α'}{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 (sin^{2} \frac{α}{2} - sin^{2} \frac{α'}{2}) (sin^{2} \frac{α}{2} + sin^{2} \frac{α'}{2}) - 4 (sin^{2} \frac{α}{2} - sin^{2} \frac{α'}{2}) (sin^{4} \frac{α}{2} + sin^{2} \frac{α}{2} sin^{2} \frac{α'}{2} + sin^{4} \frac{α'}{2}) . \end{matrix}

Ezt elosztva

(sin^{2} \frac{α}{2} - sin^{2} \frac{α'}{2})

-tel és

α = α'

-et téve, lesz

\begin{matrix} 6 sin^{2} \frac{α}{2} - 12 sin^{4} \frac{α}{2} = 0^{*} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} sin^{2} \frac{α}{2} = 0 vagy 1 - 2 sin^{2} \frac{α}{2} = 0. \end{matrix}

Az első egyenletből

α = 0,

mi nyilván minimumnak felel meg, míg a másodikból

\begin{matrix} sin \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{1}{2}} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{α}{2} = 45^{\circ} α = 90^{\circ} \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} V_{m a x} = \frac{a^{3}}{6} \end{matrix}

azaz akkor, ha

α = 90^{\circ}

, vagyis derékszög.

Meitner Elemér, V. ker. főreálisk. VIII. B. o. t., Budapest.

^{$^{*}$}*)Lásd >> A függvények szélső étékeinek meghatározása << czímű czikket a 34. oldalon.