|
Feladat: |
1985. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benczúr András , Birkás György , Bóna Miklós , Csizmadia György , Kós Géza , Makay Géza , Montágh Balázs , Rimányi Richárd , Szigeti Zoltán , Szkaliczki Tibor , Tóth Géza , Zaránd Gergely |
Füzet: |
1986/február,
52 - 53. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Prímtényezős felbontás, Oszthatóság, Számsorozatok, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1986/február: 1985. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A számok, ahol 1-nél nagyobb egész szám, megfelelnek. Valóban, 2-nek nyilván a -adik hatványa szerepel a hatványösszegben; továbbá van a számnak legalább egy páratlan prím osztója, mert a szám fele 1-nél nagyobb páratlan szám. Igy a hatványösszeg legalábbis , ami nagyobb -nél. Megjegyzés. Az olvasóra bízzuk annak belátását, hogy a következő számsorozatok is megfelelnek: , ahol egy (rögzített) páratlan prímszám, pedig pozitív egész. , . 6-nak a 2 hatványait követő legkisebb többszörösei. Hasonlóan megfelelnek 10-nek a 2 ötödiknél magasabb hatványait követő többszörösei is. A páratlan prímszámok kétszeresei. Itt természetesen felhasználjuk már azt, hogy végtelen sok prímszám van (és ezek a 2 kivételével páratlanok). A 30 többszörösei. Az utolsó választás megfelelő volta abból adódik, hogy ha egy szám osztható a prímszámmal, és a hatványösszegben szerepel, ez azt jelenti, hogy Innen Ha tehát osztható 30-cal, akkor a 2, 3 és 5 adaléka a hatványösszeghez több, mint Ismeretes az is, hogy a prímszámok reciprok értékeinek az összege tetszés szerinti nagy lehet, ha elég sok prímszámot veszünk. Ez esetünkben azt is adja, hogy a hatványösszeg nemcsak a számnál, hanem annak tetszés szerint adott többszörösénél is végtelen sok számra nagyobb lehet. Lásd pl. Erdős P.‐Surányi J.: Válogatott fejezetek a számelméletből,Tankönyvkiadó, Budapest,1960. 114‐122.old. (Itt 3 bizonyítás is található.) |
|