Feladat: 1985. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benczúr András ,  Birkás György ,  Bóna Miklós ,  Csizmadia György ,  Kós Géza ,  Makay Géza ,  Montágh Balázs ,  Rimányi Richárd ,  Szigeti Zoltán ,  Szkaliczki Tibor ,  Tóth Géza ,  Zaránd Gergely 
Füzet: 1986/február, 52 - 53. oldal  PDF file
Témakör(ök): Prímtényezős felbontás, Oszthatóság, Számsorozatok, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/február: 1985. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata

Minden n természetes számhoz vegyük n prímszám osztóinak a legnagyobb hatványát, amelyik még nem nagyobb n-nél, és ezek összegét nevezzük az n-hez tartozó hatványösszegnek. (Pl. a 100-hoz tartozó hatványösszeg 26+52=89.) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan szám van, amelyikhez tartozó hatványösszeg nagyobb a számnál.

Megoldás. A 2k+2 számok, ahol k 1-nél nagyobb egész szám, megfelelnek. Valóban, 2-nek nyilván a k-adik hatványa szerepel a hatványösszegben; továbbá van a számnak legalább egy páratlan p prím osztója, mert a szám fele 1-nél nagyobb páratlan szám. Igy a hatványösszeg legalábbis 2k+p, ami nagyobb 2k+2-nél.
 

Megjegyzés. Az olvasóra bízzuk annak belátását, hogy a következő számsorozatok is megfelelnek:
2pk, ahol p egy (rögzített) páratlan prímszám, k pedig pozitív egész.
32k, k=1,2,....
6-nak a 2 hatványait követő legkisebb többszörösei. Hasonlóan megfelelnek 10-nek a 2 ötödiknél magasabb hatványait követő többszörösei is.
A páratlan prímszámok kétszeresei. Itt természetesen felhasználjuk már azt, hogy végtelen sok prímszám van (és ezek a 2 kivételével páratlanok).
A 30 többszörösei.
Az utolsó választás megfelelő volta abból adódik, hogy ha egy n szám osztható a p prímszámmal, és a hatványösszegben pk szerepel, ez azt jelenti, hogy
pkn<pk+1.
Innen
pk>np.

Ha tehát n osztható 30-cal, akkor a 2, 3 és 5 adaléka a hatványösszeghez több, mint
n2+n3+n5=3130n.

Ismeretes az is, hogy a prímszámok reciprok értékeinek az összege tetszés szerinti nagy lehet, ha elég sok prímszámot veszünk.* Ez esetünkben azt is adja, hogy a hatványösszeg nemcsak a számnál, hanem annak tetszés szerint adott többszörösénél is végtelen sok számra nagyobb lehet.
*Lásd pl. Erdős P.‐Surányi J.: Válogatott fejezetek a számelméletből,Tankönyvkiadó, Budapest,1960. 114‐122.old. (Itt 3 bizonyítás is található.)