Kezdőlap


Feladat:	1973. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó Gábor , Kertész Gábor , Kollár János
Füzet:	1974/február, 51 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koordináta-geometria, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Kör geometriája, Négyzetrács geometriája, Másodfokú függvények, Gyökös függvények, Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Háromszögek hasonlósága, Természetes számok, Négyzetszámok összege, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: 1973. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sík egész koordinátájú pontjait rácspontnak fogjuk nevezni.

I. megoldás. Feladatunk tetszés szerinti pozitív

p

értékhez olyan korlátot keresni, amelynél nagyobb

r

sugár esetén mindig van az

r

sugarú körtől

p

-nél kisebb távolságra levő rácspont. Kézenfekvő olyan egyenesen keresni ilyen rácspontot, amelyiken egyrészt sűrűn vannak rácspontok, másrészt, amelyik ,,lehetőleg jól simul'' a körhöz, kis hegyes szögben metszi.^{$^{*}$} A rácspontok legsűrűbben ‐ egymástól 1 távolságra ‐ a koordinátatengelyekkel párhuzamos és a megfelelő tengelytől egész távolságra levő egyeneseken sorakoznak. Válasszuk pl. az

y

tengellyel párhuzamos ilyen egyenesek közül a legtávolabbit, amelyiknek még van közös pontja a körrel. Ennek az

y

tengelytől mért

u

távolságára

\begin{matrix} u \leq r < u + 1 (u egész) . \end{matrix}

(1)

Ezen az egyenesen a kört közrefogó

(u, v)

(u, v + 1)

rácspontok ordinátájára

\begin{matrix} u^{2} + v^{2} \leq r^{2} < u^{2} + {(v + 1)}^{2} (v egész) . \end{matrix}

(2)

A körön kívül levő

A

rácspontot az

O

origóval összekötő egyenes messe a kört

A_{1}

-ben. Ekkor

\begin{matrix} δ (r) \leq A A_{1} = O A - r = \sqrt[]{u^{2} + {(v + 1)}^{2}} - r = \frac{u^{2} + {(v + 1)}^{2} - r^{2}}{\sqrt[]{u^{2} + {(v + 1)}^{2}} + r} = \\ = \frac{2 v + 1 - (r^{2} - u^{2} - v^{2})}{\sqrt[]{u^{2} + {(v + 1)}^{2}} + r} < \frac{2 v + 1}{2 r}, \end{matrix}

ugyanis a számlálóban elhagyott kivonandó a

(2)

egyenlőtlenség első fele szerint nem negatív, a nevezőben levő négyzetgyök pedig az egyenlőtlenség második fele szerint nagyobb

r

-nél.

(2) első fele és (1) segítségével kapcsolatot találunk

v

és

r

között is:

\begin{matrix} v \leq \sqrt[]{r^{2} - u^{2}} = \sqrt[]{(r - u) (r + u)} < \sqrt[]{1 \cdot (r + r)} = \sqrt[]{2 r} . \end{matrix}

Ezt felhasználva, ha pl.

r > 1

, akkor

\begin{matrix} δ (r) < \frac{2 \sqrt[]{2 r} + 1}{2 r} < \frac{3 \sqrt[]{r} + \sqrt[]{r}}{2 r} < \frac{2}{\sqrt[]{r}} . \end{matrix}

Így

δ (r)

biztosan kisebb lesz

p

-nél, amint

\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt[]{r}} < p azaz r > \frac{4}{p^{2}} és r > 1. \end{matrix}

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzések. 1. Nyilvánvalóan nyerhettünk volna

2

-nél kisebb számlálót a

δ (r)

-re kapott felső korlátban, de ez nem volt célunk. Csupán azt akartuk belátni, hogy van olyan korlát, amelyiknél nagyobb

r

-ekre

δ (r) < p

. Hogy mi a legkisebb ilyen korlát, az már a probléma szempontjából lényegtelen, annál is inkább, mert nem feltétlenül a fent kiválasztott

A

a körhöz legközelebbi rácspont.

2. Sok más módon is becsülték a versenyzők az

A (u, v + 1)

vagy

B (u, v)

pont távolságát a körtől. Egy ilyen út a következő: az

A B

egyenes metszéspontját a körrel, ill. az

x

tengellyel jelölje

C

, ill.

A_{0}

, a

B

-n át az

x

tengellyel párhuzamosan húzott egyenes és a körhöz a

C

-ben húzott érintő metszéspontját

D

. Ekkor

B

távolsága a körtől kisebb, mint

B D

, így a

B C D

és

A_{0} O C

háromszögek hasonlósága folytán

\begin{matrix} δ (r) < B D = \frac{B D}{1} = \frac{B D}{A B} < \frac{B D}{B C} = \frac{A_{0} C}{A_{0} O} = \frac{\sqrt[]{r^{2} - u^{2}}}{u} < \\ < \frac{\sqrt[]{2 r}}{u} < \frac{\sqrt[]{2 r}}{r - 1} < \frac{\sqrt[]{2 r}}{r - \frac{r}{2}} = \frac{2 \sqrt[]{2}}{\sqrt[]{r}}, \end{matrix}

r > 2

; így

\begin{matrix} δ (r) < p, ha egyidejűleg r > \frac{8}{p^{2}} és r > 2. \end{matrix}

3. A feladat szoros kapcsolatban van a következő kérdéssel. Keressünk tetszés szerinti pozitív egész

N

számhoz olyan

M (N)

számot, amelyre az

N

N + M (N)

számközben van két négyzetszám összegeként írható szám.
Ha

N

-et a fenti megoldás

r^{2}

-ének választjuk, az

n = u^{2} + {(v + 1)}^{2}

tekinthető egy közeli négyzetszámnak:

\begin{matrix} n - N = u^{2} + {(v + 1)}^{2} - r^{2} < 2 v + 1, \end{matrix}

és mivel

n - N

egész, így

\begin{matrix} n - N \leq 2 v < 2 \sqrt[]{2 r} = \sqrt[]{8} \sqrt[4]{N} . \end{matrix}

N

N + \sqrt[]{8} \sqrt[4]{N}

számközben tehát mindig van két négyzetszám összegeként írható szám.

II. megoldás. Mivel az

x = u

(

u

pozitív egész) egyenlettel jellemzett egyenesen egységnyi távolságra követik egymást a rácspontok, így elég megmutatni, hogy tetszőleges pozitív

p

-hez, ha

r

elég nagy, választható

u

úgy, hogy az

x = u

egyenletű egyenesnek az

r

és

r + p

sugarú körök közti körgyűrűbe eső szakasza, ‐ pl. az első síknegyedben ‐ legalább

1

hosszúságú legyen. Ekkor ugyanis erre a szakaszra esik rácspont és az legfeljebb

p

távolságra van a körtől.

Válasszuk meg

u

-t az

\begin{matrix} u \leq r < u + 1 \end{matrix}

feltétellel. Ha

u + 1 \leq r + p

, akkor az

(u + 1,0)

pont a körgyűrűbe esik; így elég csak azt az esetet vizsgálni, ha

\begin{matrix} u \leq r < r + p < u + 1. \end{matrix}

(3)

Ez eleve csak akkor teljesülhet, ha

p < 1

. Az említett szakasz

h

hosszára

\begin{matrix} h = \sqrt[]{{(r + p)}^{2} - u^{2}} - \sqrt[]{r^{2} - u^{2}} = \frac{{(r + p)}^{2} - r^{2}}{\sqrt[]{{(r + p)}^{2} - u^{2}} + \sqrt[]{r^{2} - u^{2}}} . \end{matrix}

Itt a számláló nagyobb, mint

2 r p

, a nevezőben levő négyzetgyökök pedig így becsülhetők felülről

(3)

felhasználásával, ha pl.

r > 1

\begin{matrix} \sqrt[]{{(r + p)}^{2} - u^{2}} = \sqrt[]{(r + p - u) (r + p + u)} < \sqrt[]{1 \cdot (r + 1 + r)} < \sqrt[]{3 r}, \\ \sqrt[]{r^{2} - u^{2}} = \sqrt[]{(r - u) (r + u)} < \sqrt[]{1 \cdot 2 r} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} h > \frac{2 r p}{(\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}) \sqrt[]{r}} = \frac{2 p}{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}} \cdot \sqrt[]{r}, \end{matrix}

tehát

h > 1

, ha

\begin{matrix} r > \frac{{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{2}}{4 p^{2}} = \frac{5 + \sqrt[]{24}}{4} \cdot \frac{1}{p^{2}} . \end{matrix}

Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

^{$^{*}$}Egyenes és kör szögén az egyenesnek és a körrel való metszéspontjában a körhöz húzott érintőnek a szögét szokás érteni. Általában beszélünk két egymást metsző görbe szögéről a metszéspontjukban, ‐ ezen a metszéspontban a görbékhez húzott érintők szögét értjük, feltéve, hogy mindkettőnek van egyértelműen meghatározott érintője ebben a pontban.