|
Feladat: |
Gy.3115 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Barát Anna , Bérczi Gergely , Hangya Balázs , Lippner Gábor , Oláh Szabolcs , Terék Zsolt |
Füzet: |
1997/október,
413 - 414. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek nevezetes tételei, Magasságpont, Súlyvonal, Súlypont, Helyvektorok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/február: Gy.3115 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először megmutatjuk, hogy az , és háromszögek magasságpontjai rendre , és . Az háromszög -hoz tartozó magasságegyenese , mert ; -hez tartozó magasságegyenese pedig , mert . Ezért a háromszög magasságpontja . Ugyanígy látható be a és a háromszögre vonatkozó állítás is.
Jelöljük az , és háromszögek súlypontjait rendre , és -vel. Az előzőek alapján azt kell megmutatnunk, hogy a , és egyenesek egy ponton mennek át. Vektorok segítségével azt látjuk be, hogy e három szakasznak a rajtuk lévő súlyponthoz legközelebbi negyedelőpontjai egybeesnek. Legyenek az -ből az háromszög csúcsaihoz vezető vektorok , és . Egy háromszög súlypontjának helyvektora megegyezik a csúcsok helyvektorai összegének harmadával, ezért | | (hiszen az pont helyvektora ). Egy szakasz egyik végpontjához legközelebbi negyedelőpontjának helyvektora pedig egynegyede a közelebbi végpont helyvektora háromszorosának és a távolabbi végpont helyvektora összegének. Így a , és szakaszok súlyponthoz legközelebbi negyedelőpontjainak helyvektorai: | | Ez azt jelenti, hogy a három szakasz egy ponton megy át.
Megjegyzés. Bizonyításunk tetszőleges háromszögre helyes.
|
|