Feladat: Gy.3115 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Hangya Balázs ,  Lippner Gábor ,  Oláh Szabolcs ,  Terék Zsolt 
Füzet: 1997/október, 413 - 414. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Magasságpont, Súlyvonal, Súlypont, Helyvektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/február: Gy.3115

Az ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja M. Mutassuk meg, hogy az ABM, BCM és CAM háromszögek magasságpontjait a súlypontjaikkal összekötő egyenesek egy ponton mennek át. (H)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy az ABM, BCM és CAM háromszögek magasságpontjai rendre C, A és B. Az ABM háromszög A-hoz tartozó magasságegyenese AC, mert ACBM; B-hez tartozó magasságegyenese pedig BC, mert BCAM. Ezért a háromszög magasságpontja ACBC=C. Ugyanígy látható be a BCM és a CAM háromszögre vonatkozó állítás is.

 
 

Jelöljük az ABM, BCM és CAM háromszögek súlypontjait rendre SC, SA és SB-vel. Az előzőek alapján azt kell megmutatnunk, hogy a CSC, ASA és BSB egyenesek egy ponton mennek át. Vektorok segítségével azt látjuk be, hogy e három szakasznak a rajtuk lévő súlyponthoz legközelebbi negyedelőpontjai egybeesnek. Legyenek az M-ből az ABC háromszög csúcsaihoz vezető vektorok a, b és c. Egy háromszög súlypontjának helyvektora megegyezik a csúcsok helyvektorai összegének harmadával, ezért
3MSC¯=a+b,3MSA¯=b+cés3MSB¯=c+a
(hiszen az M pont helyvektora 0). Egy szakasz egyik végpontjához legközelebbi negyedelőpontjának helyvektora pedig egynegyede a közelebbi végpont helyvektora háromszorosának és a távolabbi végpont helyvektora összegének. Így a CSS, ASA és BSB szakaszok súlyponthoz legközelebbi negyedelőpontjainak helyvektorai:
14(3MSC¯+c)=14(a+b+c)=14(3MSA¯+a)=14(3MSB¯+b).
Ez azt jelenti, hogy a három szakasz egy ponton megy át.
 
Megjegyzés. Bizonyításunk tetszőleges háromszögre helyes.