Feladat: F.3177 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Bérczi Gergely ,  Boros M. Mátyás ,  Bosznay Tamás ,  Dályay Virág ,  Endrődy Szabolcs ,  Fejérvári Bence ,  Forrai Gábor ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Györkei Györgyi ,  Hangya Balázs ,  Hegyi Veronika ,  Horváth Gábor ,  Jáger Márta ,  Jeszenszky Gyula ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Klausz Zoltán ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Major Balázs ,  Máthé András ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Naszvadi Péter ,  Páles Csaba ,  Patakfalvi Zsolt ,  Péter Emese ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Prohászka Benedek ,  Rudolf Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Szilágyi Judit ,  Szita István ,  Szűcs Gábor ,  Taraza Busra ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Várady Gergő ,  Várkonyi Péter ,  Végh László ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1997/december, 548 - 549. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Vetítések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/április: F.3177

Két egybevágó kocka egyikébe vágható-e akkora rés, amelyiken a másik kocka átfér?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Legyen az egyik kocka két átellenes csúcsa M és N. Vegyük fel az A, B pontokat M-től, a C, D pontokat N-től a távolságra az 1. ábra szerint. Világos, hogy AB=CD=a2. Válasszuk a kocka éleit egységnyinek. Nyilván ABCD és AD=BC>1, ugyanis pl. B és C két szemközti lapon van, és BC nem merőleges ezekre a lapokra. Legyen a>12, pl. 0,8. Ekkor AB és CD is 1-nél nagyobb lesz. Az ABCD négyszög szimmetrikus az MN testátlót tartalmazó átlós síkra, így szimmetrikus trapéz, de alapjai egyenlők, ezért téglalap. Ennek a téglalapnak minden oldala 1-nél nagyobb, ezért a középpontjából kicsinyíthető úgy, hogy minden oldala továbbra is 1-nél nagyobb maradjon. A kicsinyített téglalap legyen A'B'C'D'. Ennek a téglalapnak minden pontja a kocka belső pontja. Törjük át a kockát az A'B'C'D' alapú, a téglalap síkjára merőleges alkotójú (végtelen) hasábfelülettel. A vágott résen a másik kocka átfér.
 Lippner Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)

 
  
 

 
II. megoldás. Legyen a kockák éle most is 1 egység. Vetítsük az egyik kockát egy testátlójának felező merőleges síkjára. A testátlóra nem illeszkedő 6 csúcs vetülete a testátló körüli k60 (k egész) forgásokkal egymásba vihető át, ezért a kocka vetülete egy szabályos hatszög. A hatszög oldala (egyszerű számítással) 23. Ebbe a hatszögbe írható kör sugara 22. Helyezzünk el ebben a körben egy egységnyi oldalú beírt négyzetet úgy, hogy egyik csúcsa se kerüljön a hatszög oldalára (2. ábra). Vágjunk rést a kockán erre a négyzetre épített, a négyzet síkjára merőleges alkotójú (végtelen) hasábfelülettel. A kapott résen a másik kocka átfér.
 Klausz Zoltán (Tatabánya, Árpád Gimn., IV. o.t.)