Kezdőlap


Feladat:	F.3175	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Megyeri Csaba
Füzet:	1997/december, 544. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Súlypont, Magasságpont, Euler-egyenes, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/április: F.3175

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög magasságpontja, súlypontja, körülírt körének középpontja rendre legyen $M$ , $S$ , $O$ . Az $M$ , $F$ , $S$ , $O$ pontok a leírt sorrendben a háromszög Euler-egyenesén vannak, és mivel $M S = 2 \cdot S O$ , $M F = F S = S O = \frac{1}{3} \cdot M O$ .

A súlypontból a háromszög csúcsaiba mutató vektorok legyenek

a

b

c

, továbbá

v = \vec{S O}

. Ekkor

\vec{S F} = - v

, és így

\begin{matrix} \begin{matrix} A F^{2} + B F^{2} + C F^{2} = {(a + v)}^{2} + {(b + v)}^{2} + {(c + v)}^{2} = \\ = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 v^{2} + 2 v (a + b + c) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 v^{2}, hiszen a + b + c = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Hasonlóan számítható ki

3 r^{2}

, éspedig

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 r^{2} = O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = {(a - v)}^{2} + {(b - v)}^{2} + {(c - v)}^{2} = \\ = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 v^{2} - 2 v (a + b + c) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 v^{2}, \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o.t.)