|
| Feladat: |
F.3163 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
| Megoldó(k): |
Barát Anna , Bérczi Gergely , Blaskó Ádám , Dedinszky Zsófia , Deli Lajos , Endrődy Szabolcs , Fazekas Borbála , Fejérvári Bence , Forrai Gábor , Gáspár Merse Előd , Gyenes Zoltán , Hegyi Veronika , Héjjas Péter , Helesfai Gábor , Huszár Péter , Jáger Márta , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Kunszenti-Kovács Dávid , Kürthy Gábor , Lázár Zsófia , Léka Zoltán , Lichtneckert Zoltán , Lippner Gábor , Megyeri Csaba , Nagy István , Németh András , Oláh Szabolcs , Pál András , Pálfi Nóra , Papp Dávid , Patakfalvi Zsolt , Pazár Bori , Pintér Dömötör , Prohászka Benedek , Rudolf Gábor , Szalai-Dobos András , Száva Katalin , Szepesi Zoltán , Szilágyi Judit , Szita István , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Vaik Zsuzsanna , Végh László , Zawadowski Ádám |
| Füzet: |
1997/december,
541. oldal |
 PDF | MathML |
| Témakör(ök): |
Parabola, mint mértani hely, Körülírt kör, Simson-egyenes, Feladat |
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/február: F.3163 |
|
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat szövegében szereplő pontok egy vezéregyenesű, fókuszú parabola pontjai, az egyenesek pedig e parabola érintői. Azt kell tehát igazolnunk, hogy a parabola három érintője által meghatározott háromszög köré írt kör átmegy a fókuszon. Ennek bizonyításához fölhasználjuk a következő tételt:
Egy pontból a háromszög oldaegyeneseire bocsátott merőlegesek talppontjai akkor és csak akkor illeszkednek egy egyenesre, ha a pont a körülírt körön van.
A körülírt kör egy pontjából húzott merőlegesek talppontjának egyenesét Wallace-féle egyenesnek (Simson-egyenesnek) nevezik.
A tétel igazolása megtalálható H. S. M. Coxeter‐S. L. Greitzer: Az újra felfedezett geometria c. könyvében a 73. oldalon.
Ismeretes, hogy a parabola fókuszából az érintőkre bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesen, a tengelypontba húzott érintőn vannak. Ezért a fenti tétel szerint a fókusz a három érintő háromszöge köré írt körön van.
Megjegyzés. A feladat megoldásához fölhasznált tétel megtalálható Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyv 439. oldalán is. Mindkét idézett mű megemlíti, hogy a ,,Simson-féle egyenes'' elnevezés téves.
|
|