Feladat: F.3163 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Blaskó Ádám ,  Dedinszky Zsófia ,  Deli Lajos ,  Endrődy Szabolcs ,  Fazekas Borbála ,  Fejérvári Bence ,  Forrai Gábor ,  Gáspár Merse Előd ,  Gyenes Zoltán ,  Hegyi Veronika ,  Héjjas Péter ,  Helesfai Gábor ,  Huszár Péter ,  Jáger Márta ,  Jeszenszky Gyula ,  Juhász András ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Kürthy Gábor ,  Lázár Zsófia ,  Léka Zoltán ,  Lichtneckert Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Németh András ,  Oláh Szabolcs ,  Pál András ,  Pálfi Nóra ,  Papp Dávid ,  Patakfalvi Zsolt ,  Pazár Bori ,  Pintér Dömötör ,  Prohászka Benedek ,  Rudolf Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Száva Katalin ,  Szepesi Zoltán ,  Szilágyi Judit ,  Szita István ,  Szűcs Gábor ,  Terék Zsolt ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh László ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1997/december, 541. oldal  PDF file
Témakör(ök): Parabola, mint mértani hely, Körülírt kör, Simson-egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/február: F.3163

Adott a síkon a v egyenes és a v-re nem illeszkedő F pont. Legyenek E1, E2 és E3 a sík olyan pontjai, melyek ugyanolyan távolságra vannak F-től, mint v-től. Az Ei-ből v-re állított merőleges szakasz és az FEi szakasz által közbezárt szög szögfelező egyenesét jelölje ei. Mutassuk meg, hogy az e1, e2, e3 egyenesek által meghatározott háromszög köré írt kör átmegy F-en.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szövegében szereplő Ei pontok egy v vezéregyenesű, F fókuszú parabola pontjai, az ei egyenesek pedig e parabola érintői. Azt kell tehát igazolnunk, hogy a parabola három érintője által meghatározott háromszög köré írt kör átmegy a fókuszon. Ennek bizonyításához fölhasználjuk a következő tételt:
Egy pontból a háromszög oldaegyeneseire bocsátott merőlegesek talppontjai akkor és csak akkor illeszkednek egy egyenesre, ha a pont a körülírt körön van.
A körülírt kör egy pontjából húzott merőlegesek talppontjának egyenesét Wallace-féle egyenesnek (Simson-egyenesnek) nevezik.
A tétel igazolása megtalálható H. S. M. Coxeter‐S. L. Greitzer: Az újra felfedezett geometria c. könyvében a 73. oldalon.
Ismeretes, hogy a parabola fókuszából az érintőkre bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesen, a tengelypontba húzott érintőn vannak. Ezért a fenti tétel szerint a fókusz a három érintő háromszöge köré írt körön van.

 
Megjegyzés. A feladat megoldásához fölhasznált tétel megtalálható Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyv 439. oldalán is. Mindkét idézett mű megemlíti, hogy a ,,Simson-féle egyenes'' elnevezés téves.