Feladat: N.113 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Frenkel Péter ,  Gerbicz Róbert ,  Gyenes Zoltán ,  Horváth Gábor ,  Hubenkó Elemér ,  Juhász András ,  Kiss Tamás ,  Kun Gábor ,  Kutalik Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Mátrai Tamás ,  Megyeri Csaba ,  Pap Gyula ,  Prause István ,  Szabó Jácint ,  Terpai Tamás ,  Visontai Mirkó 
Füzet: 1997/április, 226. oldal  PDF file
Témakör(ök): Műveletek polinomokkal, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/október: N.113

Egy n-edfokú p polinom értéke a k helyen kk+1, ha k=0, 1, ..., n. Milyen értéket vehet fel p(n+1)?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a q(x)=(x+1)p(x) és az

r(x)=x+1(n+1)!(0-x)(1-x)...(n-x)
polinomot. Látható, hogy mindkettő legfeljebb (n+1)-edfokú polinom, és k=0, 1, ..., n esetén q(k)=r(k)=k. Ezen kívül
r(-1)=-1+1(n+1)!(0-(-1))(1-(-1))...(n-(-1))=0=q(-1).
A q és r polinomok értéke tehát n+2 különböző helyen megegyezik. Ebből következik hogy a két polinom ugyanaz, ezért
p(n+1)=q(n+1)n+2=r(n+1)n+2)=n+1+(-1)n+1n+2.

A p(n+1) értéke tehát 1, ha n páratlan és nn+2, ha n páros.