Kezdőlap


Feladat:	N.100	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Frenkel Péter , Gyarmati Katalin , Pap Gyula
Füzet:	1996/október, 422 - 423. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Pont, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Számtani közép, Kvadratikus közép, Indirekt bizonyítási mód, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: N.100

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételezzük fel a feladat állításával szemben, hogy mindegyik pont legfeljebb $k$ -féle távolságot határoz meg a többivel. Legyen $P$ az egyik pont, és legyen $P$ -től $a_{1}$ darab pont $d_{1}$ , $a_{2}$ darab $d_{2}$ , $...$ , $a_{k}$ darab $d_{k}$ távolságra. Azon $(X; Y)$ pontpárok száma, amelyekre $(X \neq P \neq Y \neq X$ és) $\bar{P X} = \bar{P Y}$ , nyilván

\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{k} (\binom{a_{j}}{2}) = \frac{1}{2} (\sum_{j = 1}^{k} a_{j}^{2} - \sum_{j = 1}^{k} a_{j}) . \end{matrix}

A számtani és a négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint ez legalább

\begin{matrix} \frac{1}{2} (\frac{1}{k} {(\sum_{j = 1}^{k} a_{j})}^{2} - \sum_{j = 1}^{k} a_{j}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} {(3 k + 1)}^{2} - (3 k + 1)) = 3 k + \frac{5}{2} + \frac{1}{2 k} > 3 k + 2. \end{matrix}

E becslést mindegyik

P

pontra elvégezve, a pontpárok számának összegére adódik, hogy az legalább

(3 k + 2) (3 k + 2) > 2 \cdot (\binom{3 k + 2}{2})

. Így léteznie kell olyan

(X; Y)

pontpárnak, amely (legalább) három ponthoz (

P_{1}

P_{2}

P_{3}

) is megfelelő, azaz

\bar{P_{i} X} = \bar{P_{i} Y}

(

i = 1

, 2, 3). Ekkor azonban a

P_{1}

P_{2}

P_{3}

pontok egy egyenesen, az

X Y

szakasz felezőmerőlegesén helyezkednek el, a feladat feltételeinek ellentmondva.

Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)