Feladat: N.100 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Burcsi Péter ,  Frenkel Péter ,  Gyarmati Katalin ,  Pap Gyula 
Füzet: 1996/október, 422 - 423. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenes, Pont, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Számtani közép, Kvadratikus közép, Indirekt bizonyítási mód, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/március: N.100

A síkban adva van 3k+2 pont, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Igazoljuk, hogy a pontok valamelyike legalább k+1 különböző távolságot határoz meg a többivel.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételezzük fel a feladat állításával szemben, hogy mindegyik pont legfeljebb k-féle távolságot határoz meg a többivel. Legyen P az egyik pont, és legyen P-től a1 darab pont d1, a2 darab d2, ..., ak darab dk távolságra. Azon (X;Y) pontpárok száma, amelyekre (XPYX és) PX¯=PY¯, nyilván

j=1k(aj2)=12(j=1kaj2-j=1kaj).
A számtani és a négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint ez legalább
12(1k(j=1kaj)2-j=1kaj)=12(1k(3k+1)2-(3k+1))=3k+52+12k>3k+2.
E becslést mindegyik P pontra elvégezve, a pontpárok számának összegére adódik, hogy az legalább (3k+2)(3k+2)>2(3k+22). Így léteznie kell olyan (X;Y) pontpárnak, amely (legalább) három ponthoz (P1, P2, P3) is megfelelő, azaz PiX¯=PiY¯ (i=1, 2, 3). Ekkor azonban a P1, P2, P3 pontok egy egyenesen, az XY szakasz felezőmerőlegesén helyezkednek el, a feladat feltételeinek ellentmondva.
 Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)