A bizonyítást a következő interpolációs feladat megoldásából olvassuk ki. Legyen $n\ge 2$, az $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ számok különbözőek (mint a feladatban) és a $b_1\mathrm{,}{b}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{b}_n$ számok tetszőlegesek. Keressünk olyan legfeljebb $\left(n-1\right)$-edfokú $p$ polinomot, amely az $a_j$ helyen a $b_j$ értéket veszi fel $\left(1\le j\le n\right)$. Előrebocsátunk egy megjegyzést. Legfeljebb 1 megoldása lehet ennek a feladatnak, hiszen ha két polinom megfelel a feltételeknek, akkor a különbségük olyan legfeljebb $\left(n-1\right)$-edfokú polinom, amelynek legalább $n$ db gyöke van, ti. az $a_j$-k, tehát ez a különbség csakis az azonosan 0 polinom lehet. Mindezek után a $p$-t az ún. Lagrange-interpoláció módszerével keressük meg. Abban a speciális esetben, amikor a $b_j$-k egyike 1, a többi pedig 0, könnyű a $p$-t megtalálnunk. Ha pl. $b_i=1$, akkor a legfeljebb $\left(n-1\right)$-edfokú $p$-nek az $a_i$-k $\left(j\ne i\right)$ mind gyökei, tehát $p\left(x\right)$ a ${\prod }_{j\ne i}\left(x-a_j\right)$ polinom konstansszorosa, vagyis a $p\left(a_i\right)=1$ feltételt is figyelembe véve $p\left(x\right)={\prod }_{j\ne i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}$. Jelöljük $p_i$-vel ezt a polinomot. Ezek után világos, hogy ha a $b_1\mathrm{,}{b}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{b}_n$ értékek tetszőlegesek, akkor $p={\sum }_{i=1}^n{b}_i{p}_i$ olyan legfeljebb $\left(n-1\right)$-edfokú polinom, amely az $a_j$ helyen a $b_j$-t veszi fel, tehát ez az, amit keresünk. Ezzel az interpolációs feladatot megoldottuk. Abban az esetben, amikor $b_j=a_j$ $\left(1\le j\le n\right)$, a fenti interpolációs polinomnak meg kell egyeznie a $p\left(x\right)=x$ polinommal, hiszen ez utóbbi is olyan legfeljebb $\left(n-1\right)$-edfokú polinom, amely az $a_j$ helyen a $b_j$-t veszi fel. Ezek szerint fennáll a