Feladat: N.92 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Frenkel Péter ,  Gyarmati Katalin ,  Gyenes Zoltán ,  Makai Márton ,  Pap Gyula ,  Prause István ,  Terék Zsolt 
Füzet: 1996/december, 543. oldal  PDF file
Témakör(ök): Interpolációs polinomok, Műveletek polinomokkal, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/január: N.92

Legyenek a1, a2, ..., an különböző valós számok (n3). Igazoljuk, hogy
i=1n(aiji1ai-aj)=0.(5)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítást a következő interpolációs feladat megoldásából olvassuk ki. Legyen n2, az a1,a2,...,an számok különbözőek (mint a feladatban) és a b1,b2,...,bn számok tetszőlegesek. Keressünk olyan legfeljebb (n-1)-edfokú p polinomot, amely az aj helyen a bj értéket veszi fel (1jn). Előrebocsátunk egy megjegyzést. Legfeljebb 1 megoldása lehet ennek a feladatnak, hiszen ha két polinom megfelel a feltételeknek, akkor a különbségük olyan legfeljebb (n-1)-edfokú polinom, amelynek legalább n db gyöke van, ti. az aj-k, tehát ez a különbség csakis az azonosan 0 polinom lehet. Mindezek után a p-t az ún. Lagrange-interpoláció módszerével keressük meg. Abban a speciális esetben, amikor a bj-k egyike 1, a többi pedig 0, könnyű a p-t megtalálnunk. Ha pl. bi=1, akkor a legfeljebb (n-1)-edfokú p-nek az ai-k (ji) mind gyökei, tehát p(x) a ji(x-aj) polinom konstansszorosa, vagyis a p(ai)=1 feltételt is figyelembe véve p(x)=jix-ajai-aj. Jelöljük pi-vel ezt a polinomot. Ezek után világos, hogy ha a b1,b2,...,bn értékek tetszőlegesek, akkor p=i=1nbipi olyan legfeljebb (n-1)-edfokú polinom, amely az aj helyen a bj-t veszi fel, tehát ez az, amit keresünk. Ezzel az interpolációs feladatot megoldottuk. Abban az esetben, amikor bj=aj (1jn), a fenti interpolációs polinomnak meg kell egyeznie a p(x)=x polinommal, hiszen ez utóbbi is olyan legfeljebb (n-1)-edfokú polinom, amely az aj helyen a bj-t veszi fel. Ezek szerint fennáll a

i=1n(aijix-ajai-aj)=x
polinomegyenlőség. A két oldalon az xn-1 együtthatóját összehasonlítva éppen a kívánt egyenlőséget kapjuk, feltéve hogy n-12, azaz n3.
 Makai Márton (Debrecen, Fazekas Mihály Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján