Feladat: Gy.3093 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bajusz Csaba ,  Balogh Renáta ,  Barát Anna ,  Benedek Csaba ,  Bérces Márton ,  Bérczi Gergely ,  C. Szabó Péter ,  Csikvári András ,  Csizmadia László ,  Davidovics Gábor ,  Détári Dániel ,  Devecsery András ,  Fall Zoltán ,  Gulyás Zoltán ,  Gyenes Zoltán ,  Hangya Balázs ,  Horváth Gábor ,  Keszegh Balázs ,  Kósa Botond ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Lódi Edit ,  Major Balázs ,  Máthé András ,  Naszódi Gergely ,  Papp Beáta Andrea ,  Prohászka Benedek ,  Simon Zoltán ,  Szabó Gábor ,  Szalontay Mihály ,  Szűcs Gábor ,  Taraza Abir ,  Taraza Busra ,  Terpai Tamás ,  Tóth Ádám ,  Ureczky Judit ,  Vajk Rita ,  Varga István ,  Zábrádi Gergely ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1997/május, 283 - 285. oldal  PDF file
Témakör(ök): Téglatest, Négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/november: Gy.3093

Elegendő-e az a, b, c élű, téglatest formájú csomag becsomagolásához az (a+b+2c)/2 oldalú, négyzet alakú csomagolópapír? (A papírt nem vághatjuk szét, a csomagolás pedig hézagmentes befedést jelent.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A csomagolás elvégezhető. Ezt úgy látjuk be, hogy a téglatest lapjait kiterítjük egy síkba, majd az így keletkezett sokszöget letakarjuk egy (a+b+2c)/2 oldalú négyzettel.
Válasszuk ki a téglatest egyik a és b oldalú téglalapját, majd ennek síkjába terítsük ki az ehhez csatlakozó 4 (a és c, illetve b és c oldalú) lapot az 1. ábrán látható módon. Kössük össze az egymással szomszédos c oldalú lapok csúcsait a 2. ábrán látható módon egy-egy egyenessel (az ábra jelölései szerint az E és G, H és I, K és L, M és N csúcsokat).

  

Ezek az egyenesek egy ABCD négyszöget határolnak. Mivel az EFG ‐ és a többi, az ábrán besötétített ‐ háromszög egyenlő szárú és derékszögű, azért EGF=GEF=45; amiből következik, hogy az AEN, BLM, CIK és DGH háromszögek is egyenlő szárúak és derékszögűek, ezért ABCD téglalap. Továbbá
AB=AN+NM+MB=b/2+c2+a/2
és
BC=BL+LK+KC=a/2+c2+b/2,
ezért ABCD éppen egy (a+b+2c)/2 oldalú négyzet.
  

Már csak a téglatest hatodik, a és b oldalú lapját kell ráfektetnünk az ABCD négyzetre. Legyenek a hatodik lap csúcsai P, R, S és T, a téglalap belső szögfelezőinek metszéspontjai pedig V, Z, X, Y (3. ábra). Ha a=b, akkor a négy utóbbi pont egybeesik. Mivel szögfelezőket rajzoltunk, azért PRY, RSV, STZ és TPX egyenlő szárú derékszögű háromszögek, és PRYSTZGHDLMB, valamint RSVTPXNEAIKC. Ezért a téglatest hatodik lapját négy részre osztva (ab esetén az RSV és TPX háromszögekre és a PRVX és STXV négy- vagy háromszögekre), majd mindegyik részt a hozzá élben csatlakozó lap mellé terítve a téglatest felszínének egy olyan kiterítését kapjuk, amelyet lefed egy (a+b+2c)/2 oldalú négyzet (4. ábra).
 Szűcs Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján